2013届高二数学教案12基本不等式(人教A版选修45).doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 课 题：　第02课时 基本不等式 教学目标： 1.学会推导并掌握均值不等式定理； 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 一、知识学习： 定理1：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2 当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0 所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么  eq \f(a ＋b,2) ≥ eq \r(ab) （当且仅当a＝b时取“＝” 号） 证明：∵（ eq \r(a) ）2＋（ eq \r(b) ）2≥2 eq \r(ab)  ∴a ＋b≥2 eq \r(ab) ?，即? eq \f(a ＋b,2) ≥ eq \r(ab)  显然，当且仅当a＝b时， eq \f(a ＋b,2) ＝ eq \r(ab)  说明：1）我们称 eq \f(a ＋b,2) 为a，b的算术平均数，称 eq \r(ab) 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab和 eq \f(a ＋b,2) ≥ eq \r(ab) 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解： 例1 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 eq \r(P) ； （2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 eq \f(1,4) S2 证明：因为x，y都是正数，所以  eq \f(x＋y,2) ≥ eq \r(xy)  （1）积xy为定值P时，有 eq \f(x＋y,2) ≥ eq \r(P)  ∴x＋y≥2 eq \r(P)  上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2 eq \r(P) . （2）和x＋y为定值S时，有 eq \r(xy) ≤ eq \f(S,2)  ∴xy≤  eq \f(1,4) S 2 上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值 eq \f(1,4) S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在。 例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证： （ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明：由a、b、c、d都是正数，得  eq \f(ab＋cd,2) ≥ eq \r(ab·cd) ＞0， eq \f(ac＋bd,2) ≥ eq \r(ac·bd) ＞0， ∴ eq \f(（ab＋cd）（ac＋bd）,4) ≥abcd 即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 l＝240000＋720（x＋ eq \f(1600,x) ）≥240000＋720×2 eq \r(x· eq \f(1600,x) )  ＝240000＋720×2×40＝297600 当x＝ eq \f(1600,x) ，即x＝40时，l有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练