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2013届高二数学教案14绝对值三角不等式(人教A版选修45)
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课 题: 第04课时 绝对值三角不等式
教学目标:
1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简
单的应用。
2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学
思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程:
一、复习引入:
关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1.请同学们回忆一下绝对值的意义。
。
几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
(1),当且仅当时等号成立,当且仅当时等号成立。
(2), (3), (4)
那么
二、讲解新课:
结论:(当且仅当时,等号成立.)
已知是实数,试证明:(当且仅当时,等号成立.)
方法一:证明:10 .当ab≥0时, 20. 当ab0时,
综合10, 20知定理成立.
方法二:分析法,两边平方(略)
定理1 如果是实数,则(当且仅当时,等号成立.)
(1)若把换为向量情形又怎样呢?
根据定理1,有,就是,。 所以,。
定理(绝对值三角形不等式)
如果是实数,则
注:当为复数或向量时结论也成立.
推论1:
推论2:如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
思考:如何利用数轴给出推论2的几何解释?
(设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数a,b,c,则线段当且仅当C在A,B之间时,等号成立。这就是上面的例3。特别的,取c=0(即C为原点),就得到例2的后半部分。)
三、典型例题:
例1、已知 ,求证
证明 (1)
,
∴ (2)
由(1),(2)得:
例2、已知 求证:。
证明 ,∴,
由例1及上式,。
注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。
例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解:如果生活区建于公路路碑的第 x km处,两施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
四、课堂练习:
1.(课本习题1.2第1题)求证:
⑴;⑵
2. (课本P19习题1.2第3题)求证:
⑴;⑵
3.(1)、已知求证:。
(2)、已知求证:。
五、课堂小结:
1.实数的绝对值的意义:
⑴;(定义)
⑵的几何意义:
2.定理(绝对值三角形不等式)
如果是实数,则注意取等的条件。
六、课后作业:课本P19第2,4,5题
七.教学后记:
教学札记
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