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2013届高二数学教案22不等式的证明方法之二综合法与分析法(人教A版选修45)
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课 题:第02课时 不等式的证明方法之二:综合法与分析法
教学目标:
结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法。
了解分析法和综合法的思考过程。
教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程。
教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法。
教学过程:
一、引入:
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法。由
于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证
的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”,后一种是“执果索因”。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是“综合法”;而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法”。
二、典型例题:
例1、已知,且不全相等。求证:
分析:用综合法。
例2、设,求证
证法一 分析法
要证成立.
只需证成立,又因,
只需证成立,又需证成立,
即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
注意到,即,
由上式即得,从而成立。
议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗?
例3、已知a,b,m都是正数,并且求证: (1)
证法一 要证(1),只需证 (2)
要证(2),只需证 (3)
要证(3),只需证 (4)
已知(4)成立,所以(1)成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 是正数,所以
两边同时加上得两边同时除以正数得(1)。
例4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么???截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形为,截面积为。所以本题只需证明。
证明:设截面的周长为,则截面是圆的水管的截面面积为,截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明:。
为了证明上式成立,只需证明。
两边同乘以正数,得:。因此,只需证明。
上式显然成立,所以 。
这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明:。
证法一: 因为 (2)
(3)
(4)
所以三式相加得 (5)
两边同时除以2即得(1)。
证法二:
所以(1)成立。
例6、证明: (1)
证明 (1) (2)
(3)
(4)
(5)
(5)显然成立。因此(1)成立。
例7、已知都是正数,求证并指出等号在什么时候成立?
分析:本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明:
=
=
由于都是正数,所以而,
可知
即(等号在时成立)
探究:如果将不等式中的分别用来代替,并在两边同除以3,会得到怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:
,其中是互不相等的正数,且.
三、课堂小结:
解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、课堂练习:
1、已知求证:
2、已知求证
3、已知求证
4、已知求证:
(1)(2)
5、已知都是正数。求证:
(1) (2)
6、已知都是互不相等的正数,求证
五、课后作业:
课本25页第1、2、3、4题。
六、教学后记:教学札记
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