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2013届高二数学教案33一般形式的柯西不等式(人教A版选修45)
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课 题: 第03课时 一般形式的柯西不等式
教学目标:
1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义;
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法
教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。
教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程:
一、复习引入:
定理1:(柯西不等式的代数形式)设均为实数,则
,其中等号当且仅当时成立。
定理2:(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
定理3:(三角形不等式)设为任意实数,则:
二、讲授新课:
类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入,可得到这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
定理4:(一般形式的柯西不等式):设为大于1的自然数,(1,2,…,)为任意实数,则:
即
,其中等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,…,)。
证明:构造二次函数:
即构造了一个二次函数:
由于对任意实数,恒成立,则其,
即:,
即:,
等号当且仅当,
即等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,…,)。
如果()全为0,结论显然成立。
三、应用举例:
例3 已知a1,a2,…,an都是实数,求证:
分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例4已知a,b,c,d是不全相等的实数,证明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da
分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
分析:由形式,联系柯西不等式,可以通过构造(12+22+32)作为一个因式而解决问题。
四、巩固练习:
练习:1.设x,y,z为正实数,且x+y+z=1,求的最小值。
2.已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。
3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,求的最大值。
选做:4.已知a,b,c为正实数,且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08广一模)
5.已知a,b,c为正实数,且a+2b+c=1,求的最小值。(08东莞二模)
6.已知x+y+z=,则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
五、课堂小结:重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业:P41习题3.2 2,3,4,5
七、教学后记:
教学札记
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