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2013年10月《线性代数(经管类)04184》试卷及标准答案
全国2013年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
选择题部分
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1.设行列式,,则 B
A.-3 B.-1
C.1 D.3
2.设4阶矩阵A的元素均为3,则r(A)= A
A.1 B.2
C.3 D.4
3.设A为2阶可逆矩阵,若,则A*=
A. B.
C. D.
4.设A为m×n矩阵,A的秩为r,则
A. r=m时,Ax=0必有非零解 B. r=n时,Ax=0必有非零解
C. rm时,Ax=0必有非零解 D. rn时,Ax=0必有非零解
5.二次型f(xl,x2,x3)=的矩阵为
A. B.
C. D.
非选择题部分
注意事项:
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
6.设A为3阶矩阵,且|A|=2,则|2A|=__16____.
7.设A为2阶矩阵,将A的第1行加到第2行得到B,若B=,则A=_1 2
2 2.
8.设矩阵A=,B=,且r(A)=1,则r(B)=__1____.
9.设向量α=(1,0,1)T,β=(3,5,1)T,则β-2α=_(1 5 -1)_______.
10.设向量α=(3,-4)T,则α的长度||α||=_5_____.
11.若向量αl=(1,k)T,α2=(-1,1)T线性无关,则数k的取值必满足_K不等于-1____.
12.齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为__2____.
13.已知矩阵A=与对角矩阵D=相似,则数a=_5___
14.设3阶矩阵A的特征值为-1,0,2,则|A|=_0____.
15.已知二次型f (x1,x2,x3)=正定,则实数t的取值范围是_T大于0_____.
三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分)
16.计算行列式D=.= (a+b+c)3
步骤:1. 将第二行和第三行全部加到第一行,使第一行全部变成:a+b+c,
2. 提取公因子a+b+c, 第一行变成1 1 1
3. 第一行的-2b倍加到第二行,变成: 0 -(a+b+c) 0
4 第一行的-2c倍加到第三行,变成: 0 0 -(a+b+c)
5 行列式的值为:对角线元素之积,(a+b+c)3
17.已知向量α=(1,2,k),β=,且βαT=3,A=αTβ,求
(1)数k的值;
(2)A10.
解:(1):βαT=3 矩阵的乘法:1+1+k/3=3 K=3
(2): αTβ不能乘吧?这个不会解,请老师帮忙
18.已知矩阵A=,B=,求矩阵X,使得AX=B.
解:X=A-1*B
先求出A-1 利用初等行变换,将前面部分转为简化梯阶形式,后面部分就成为了A的逆矩阵。
-4 -12 7
-3 9 -5
1 -2 1
所以X=A-1*B
19.求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(-1,-1,-2,0)T, α3=(-3,4,-4,l)T, α4=(-6,14,-6,3)T的秩和一个极大线性无关组,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
解:就是初等行变换,化为简化阶梯形式,
0 0 -1
1 0 -2
0 1 3
0 0 0 0
秩为:3
α1 α2 α3 为一个极大无关组
α1 - α4 =0
α2 - 2α4=0
α3 + 3α4=0
线性表出:α4=α1-2α2 +3α3
20.设线性方程组,问:
(1)λ取何值时,方程组无解?
(2)λ取何值时,方程组有解?此时求出方程组的解.
解:方程组无解,就是系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩
λ=1/2时,方程组无解
(2)有解,就是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,
Λ不等于1/2时,方程组有解,是唯一解,
其解为:Z=3/(4λ-2),y=-1/2, x=
21.求矩阵A=的全部特征值与特征向量.
解:λE-A=0 代入求特征值
λ1=λ2=1 λ=-1
求特征向量,将λ1=λ2=1 λ=-1代入计算
当λ=-1时,矩阵为:
-1 0 -1
0 -2 0
0 0
特征向量为(-1 -1/2??1)
当λ1=λ2=1时,矩阵为:
0 -1
0 0
0 0
特征向量为(-1 0 1)
22.用配方法化二次型f (x1,x2,x3)=为标准形,并写出所用的可逆线性变换.
解:标准形:只有平方项,没有交叉项的为标准形
f (x1,x2,x3)= (2X12 – 4X1X3 –X32 ) + (X32 + 8X2X3 + 4X22 ) - 6X22
= (2X
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