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2013年春季学期线性代数试卷A
中国海洋大学 2013年春季学期 期末考试卷
数学科学学院 线性代数试题A卷 共3页 第 1 页
考试说明:本课程为闭卷考试,满分为:100 分.
题号一二三四五六总分得分符号说明: 表示矩阵的秩,表示矩阵的伴随矩阵,表示阶单位矩阵,表示矩阵的转置矩阵,是的元素的代数余子式.
一、填空 (18分)
1、
2、设是3维列向量,记,
,若,则 ;
3、设向量组(I);(II);(III);(IV)
若(I)、(II)的秩为2,(III)的秩为3,则(IV)的秩为 。
4、设阶方阵的一个特征值为,与其对应的特征向量,则方阵的个元素之和为 ;
5、若阶矩阵的特征值为,则 ;授课教师命题教师或命题负责人签字《线性代数》课题组院系负责人
签字
年 月 日
数学科学学院 线性代数试题(A卷) 共 3 页 第 2 页
6、设均为阶可逆矩阵,是阶矩阵, 且,则 ;
二、选择题 (18分)
1. 设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第2列的加到第1列得,记,则( D )
(A) (B) (C) (D).
2. 设均为阶矩阵, 且,则必有( );
A.或 B.
C.或 D.两矩阵与中,至少有一个为奇异矩阵
3. 维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为( )
A.向量组可由向量组线性表示
B.向量组可由向量组线性表示
C.向量组与向量组等价
D.矩阵()与矩阵()等价
4. 设为矩阵,则线性方程组为有解的充分条件是( )
A.是行满秩的 B.是列满秩的
C.的秩小于的行数 D.的秩小于的列数
5. 与矩阵不相似的矩阵是( )
A. B. C. D.
6. 已知是某个齐次线性方程组的一个基础解系,则( )
A.线性无关 B.线性相关
C.线性相关
D.不是方程组的一个基础解系
三、(24分)
1.设3阶矩阵的特征值为1,2,2,为3阶单位矩阵,求. (4分)
2. 设是的一组基,求到的过渡矩阵. (6分)
3. 设为矩阵,为矩阵,若,求证:。(5分)
4.设的伴随矩阵且,求.(8分)
四、(12分)
1、设向量组…,线性无关,试讨论向量组
…, ??线性关系.(6分)
2、已知均为阶矩阵,且,证明.(6分)
数学科学学院 线性代数试题(A卷)
共 3 页 第 3 页
五、(15分)设,已知线性方程组有无穷多个解
求:(1);
(2)的一般解.
六、(15分) 设二次型
.
(I)求二次型的矩阵的所有特征值.
(II)若二次型的规范形为,求的值.
求正交变换,利用正交变换法将化为标准型.
已知,二次型 的秩为2. 注:.
(1)求实数的值;
(2)求正交变换,利用正交变换法将化为标准型.
设为3阶方阵,将的第1行加到第2行得矩阵,再交换的第2列与第3 列得单位矩阵,记,则( B )
(A) (B) (C) (D)
设矩阵,矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求矩阵;
4阶行列式 的值等于( ).
A. B.
C. D.
计算
已知齐次线性方程组有非零解,则与满足( );
A.或 B.或 C. D.
计算
设是阶矩阵,是线性无关的维列向量组,是阶可逆矩阵,,且,则可取为( )
A. B.
C. D.
设都是阶方阵,且可逆.下列各式中,不对的是( )
A. B.
C.D.
设是3阶方阵,且,为的伴随矩阵,求.
设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则
线性无关的充要条件是( B )
A. B. C. D.
(2011)设3维向量组,,不能由,,线性标出。
求:(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将,,由,,线性表出.
(2010) 设,正交矩阵使得为对角矩阵,若的第1列为,求,
(2009) 设二次型
.
(I)求二次型的矩阵的所有特征值.
(II)若二次型的规范形为,求的值.
求正交变换,利用正交变换法将化为标准型.
(15分)设,已知线性方程组有无穷多个解
求:(1);
(2)的一般解.
设3维向量组,,不能由,,线性标出。
求:(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将,,由,,线性表出.
已知为三阶实矩阵,,且,
求:(Ⅰ) 求的特征值与特征向量;
(Ⅱ) 求
设,
已知线
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