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2013年陕西高考数学理科第2021题解法
2013年陕西高考数学(理科)第20、21题解法
陕西渭南 合阳中学 715300
20.已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
解:(Ⅰ)设动圆圆心为.由题意有.化简可得.
所以所求动圆圆心的轨迹C的方程为.
证明:(Ⅱ)由题意可设直线的方程为.
联立可得.
由. 设
则
由于x轴是的角平分线,且B(-1,0)
而
所以的方程为.
故直线恒过点(1,0).
21.已知函数.
(Ⅰ) 若直线与的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设ab, 比较与的大小, 并说明理由.
解:(Ⅰ)易知函数的反函数为.
显然直线恒过点(0,1).由于直线与相切.
设切点为. 由题易有 故.
(Ⅱ)由得. 令
, 而
由于
所以当时,曲线y=f (x) 与曲线无公共点;
当时,曲线y=f (x) 与曲线有一个公共点;
当时,曲线y=f (x) 与曲线有两个公共点.
(Ⅲ) 令
所以 又
则当,. 即
因为 令 得
所以 即.
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