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2013年高中数学教学论文分析和解决问题能力的组成及培养策略
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高中数学分析和解决问题能力的组成及培养策略
分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述.它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现.由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上,注重对数学思想和方法的考查,注重数学能力的考查,强调了综合性.这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求,也使试卷的题型更新,更具有开放性.纵观近几年的高考,学生在这一方面失分的普遍存在,如97年的理科24题、98年的理科24题、99年的理科23、24题、2000年的文科21题,这就要求我们教师在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养,以减少在这一方面的失分.笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见.
一、分析和解决问题能力的组成
1.审题能力
审题是对条件和问题进行全面认识,对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究,它是如何分析和解决问题的前提.审题能力主要是指充分理解题意,把握住题目本质的能力;分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力.要快捷、准确在解决问题,掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的.
例1 已知求的值.
分析:怎样利用已知的二个等式?初看好象找不出条件和结论的联系.只好从未知入手,当然,首先想到的是把、分别求出,然后求出它们的乘积,这是个办法,但是不好求;于是可考虑将写成,转向求、.令
,,于是.
从方程的观点看,只要有、的二元一次方程就可求出、.于是转向求
,.
这样把问题转化为下列问题:
已知 ①
②
求、的值.
①2+②2得 .
②2-①2得,. 这样问题就可以解决.
从刚才的解答过程中可以看出,解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系,这需要一定的审题能力.由此可见,审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分.
合理应用知识、思想、方法解决问题的能力
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内
-1-
容;数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等;数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法.只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法,才能解决高中数学中的一些基本问题,而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅.
例2 (2000年全国高考题)设函数 其中
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)求的取值范围,使函数在上是单调函数.
解:(Ⅰ)不等式 即
由此得即其中常数
所以,原不等式等到价于
,
即
所以,当时,所给不等式的解集为
当时,所给不等式的解集为
(Ⅱ)在区间上任取使得
(ⅰ)当时,
∵
∴
又
∴
即
所以,当时,函数在区间上是单调递减函数.
(ⅱ)当时,在区间上存在两点满足
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所以函数在区间上不是单调函数.
综上,当且仅当时,函数在区间上是单调函数.
在上述的解答过程中可以看出,本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力.
数学建模能力
近几年来,在高考数学试卷中,都有几道实际应用问题,这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战.而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心.
例3 (1999全国高考题)下图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(Ⅰ)输入带钢的厚度为,输出带钢的厚度为,若每对轧辊的减薄率不超过.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?
()
(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长为16
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