2013高中数学技能特训23函数的奇偶性与周期性（人教B版）含解析.doc

2-3函数的奇偶性与周期性 基础巩固强化 1.(文)下列各函数中，(　　)是R上的偶函数(　　) A．y＝x2－2x　　　　　　 B．y＝2x C．y＝cos2x D．y＝eq \f(1,|x|－1) [答案]　C [解析]　A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C. (理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是(　　) A．y＝x3　　　　　　　　 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| [答案]　B [解析]　y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B. 2．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1007个零点，则f(x)的零点共有(　　) A．2014个 B．2015个 C．1007个 D．1008个 [答案]　B [解析]　∵奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，＋∞)上与x轴有1007个交点，故在(－∞，0)上也有1007个交点，又f(0)＝0，∴共有零点2015个． 3．(文)若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))等于(　　) A．0　　　　B．1　　　　C.eq \f(1,2)　　 　D．－eq \f(1,2) [答案]　C [解析]　在f(x＋3)＝f(x)＋f(3)中取x＝－eq \f(3,2)得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋f(3)，∵f(x)是奇函数，且f(3)＝1， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq \f(1,2). [点评]　解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用． (理)(2011·兰州诊断)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－eq \f(1,f?x?)，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝(　　) A．4.5 B．－4.5 C．0.5 D．－0.5 [答案]　D [解析]　∵f(x＋2)＝－eq \f(1,f?x?)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－eq \f(1,f?x＋2?)＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5. 4．函数y＝log2eq \f(2－x,2＋x)的图象(　　) A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 [答案]　A [解析]　首先由eq \f(2－x,2＋x)0得，－2x2，其次令f(x)＝log2eq \f(2－x,2＋x)，则f(x)＋f(－x)＝log2eq \f(2－x,2＋x)＋log2eq \f(2＋x,2－x)＝log21＝0.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A. 5．(文)奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(f?x?－f?－x?,x)0的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) 　 B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　 D．(－1,0)∪(0,1) [答案]　D [解析]　∵f(x)为奇函数， ∴不等式eq \f(f?x?－f?－x?,x)0化为xf(x)0， ∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0， ∴当0x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0， 又f(x)为奇函数，∴当－1x0时，f(x)0， 当x－1时，f(x)0. ∴不等式xf(x)0的解集为0x1或－1x0. (理)(2012·河南洛阳统考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是(　　) A．(－1,0) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案]　B [解析]　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－lg(－x)，且f(0)＝0，∴f(x)0?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0，,lgx0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\