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2013高考总复习江苏专用(理科)第七篇不等式《第42讲基本不等式及其应用(2
A级 基础达标演练
(时间:45分钟 满分:80分)
一、填空题(每小题5分,共35分)
1.已知p=a+eq \f(1,a-2),q=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2-2,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系为________.
解析 p=a+eq \f(1,a-2)=a-2+eq \f(1,a-2)+2≥2eq \r(?a-2?·\f(1,a-2))+2=4.当a-2=eq \f(1,a-2),即a=3时取等号,q=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2-2≤4,∴p≥q.
答案 p≥q
2.要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为________,宽为________.
解析 设鱼池的长、宽分别为x,eq \f(432,x),所以S=(x+6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(432,x)+8))=432+48+eq \f(2 592,x)+8x≥480+288=768,仅当8x=eq \f(2 592,x),即x=18,eq \f(432,x)=24时等号成立.
答案 24 m 18 m
3.若x,y是正数,则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2y)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,2x)))2的最小值是________.
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2y)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,2x)))2≥x2+eq \f(1,4x2)+y2+eq \f(1,4y2)+2≥2eq \r(x2·\f(1,4x2))+2eq \r(y2·\f(1,4y2))+2=4.当且仅当x=y=eq \f(\r(2),2)时取等号.
答案 4
4.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是________.
解析 f(x)>0,即32x-(k+1)·3x+2>0,
∴k+1<eq \f(32x+2,3x)=3x+eq \f(2,3x).
∵x∈R,∴3x>0,∴eq \f(32x+2,3x)=3x+eq \f(2,3x)≥2eq \r(2),当且仅当3x=eq \f(2,3x)时取等号.
从而k<-1+2eq \r(2).
答案 (-∞,-1+2eq \r(2))
5.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得eq \r(aman)=4a1,则eq \f(1,m)+eq \f(4,n)的最小值为________.
解析 由a7=a6+2a5,得a5q2=a5q+2a5,又a5≠0,q>0,所以q2=q+2,解为q=2.于是由eq \r(aman)=4a1,得m+n=6,所以eq \f(1,m)+eq \f(4,n)=eq \f(1,6)(m+n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)+\f(4,n)))=eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5+\f(n,m)+\f(4m,n)))≥eq \f(1,6)(5+4)=eq \f(3,2),当且仅当n=2m,即m=2,n=4时等号成立,故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)+\f(4,n)))min=eq \f(3,2).
答案 eq \f(3,2)
6.若a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则eq \f(a2,x)+eq \f(b2,y)≥eq \f(?a+b?2,x+y),当且仅当eq \f(a,x)=eq \f(b,y)时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=eq \f(2,x)+eq \f(9,1-2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))))的最小值为________,取最小值时x的值为________.
解析 由题意得f(x)=eq \f(4,2x)+eq \f
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