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2013高考数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切教案理
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第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
【2013年高考会这样考】
1.考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值.
2.利用三角公式考查角的变换、角的范围.
【复习指导】
本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式,准确把握公式的特征,活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用);同时要掌握好三角恒等变换的技巧,如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等.
基础梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;
(2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;
(3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;
(4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;
(5)T(α+β):tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β);
(6)T(α-β):tan(α-β)=eq \f(tan α-tan β,1+tan αtan β).
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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α;
(2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)T2α:tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α).
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan_αtan_β);
(2)cos2α=eq \f(1+cos 2α,2),sin2α=eq \f(1-cos 2α,2);
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
sin α±cos α=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b为常数),可以化为f(α)=eq \r(a2+b2)sin(α+φ)或f(α)=eq \r(a2+b2)cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β=eq \f(α+β,2)-eq \f(α-β,2);eq \f(α-β,2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(β,2)))-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)+β)).
(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.
三个变化
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
双基自测
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1.(人教A版教材习题改编)下列各式的值为eq \f(1,4)的是( ).
A.2cos2 eq \f(π,12)-1 B.1-2sin275°
C.eq \f(2tan 22.5°,1-tan222.5°) D.sin 15°cos 15°
解析 2cos2eq \f(π,12)-1=coseq \f(π,6)=eq \f(\r(3),2);1-2sin275°=cos 150°=-eq \f(\r(3),2);eq \f(2tan 22.5°,1-tan222.5°)=
tan 45°=1;sin 15°cos 15°=eq \f(1,2)sin 30°=eq \f(1,4).
答案 D
2.(2011·福建)若tan α=3,则eq \f(sin 2α,cos2α)的值等于( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 eq \f(sin 2α,cos2 α)=eq \f(2sin αcos α,cos2 α)=2tan a=2×3=6,故选D.
答案 D
3.已知sin α=eq \f(2,3),则cos(π-2α)等
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