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2014届高三数学大一轮复习88立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角距离教案理新人教A版
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§8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离
2014高考会这样考 1.考查用向量方法求空间角的大小;2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点).
复习备考要这样做 1.掌握空间角的定义、范围,掌握求空间角的向量方法;2.会利用向量方法对距离进行转化.
1. 空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1,m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足sin θ=|cos〈m,n〉|.
(3)求二面角的大小
1°如图①,AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈eq \o(AB,\s\up6(→)),eq \o(CD,\s\up6(→))〉.
2°如图②③,n1,n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉.
2. 点面距的求法
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=eq \f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
[难点正本 疑点清源]
1. 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
2. 利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α、β的向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.
3. 求点到平面距离的方法:①垂面法:借助面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;②等体积法,转化为求三棱锥的高;③等价转移法;④法向量法.
1. 若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为___________.
答案 eq \f(4\r(11),33)
解析 ∵n·a=-8-3+3=-8,|n|=eq \r(16+1+1)=3eq \r(2),
|a|=eq \r(4+9+9)=eq \r(22),
∴cos〈n,a〉=eq \f(n·a,|n|·|a|)=eq \f(-8,3\r(2)×\r(22))=-eq \f(4\r(11),33).
又l与α所成角记为θ,即sin θ=|cos〈n,a〉|=eq \f(4\r(11),33).
2. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角为________.
答案 30°
解析 由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°,∴直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.
3. 从空间一点P向二面角α—l—β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,垂足分别为E,F,若二面角α—l—β的大小为60°,则∠EPF的大小为__________.
答案 60°或120°
4. 如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体
ABCO—A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为
________.
答案 eq \f(\r(2),2)a
解析 由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a).
∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(a,2),0)),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(a,2),\f(a,2))).
∴EF=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(a,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)-\f(a,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0-\f(a,2)))2)
=eq \r(\f(a2,4)+\f(a2,4))=eq \f(\r(2),2)a.
5. 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中点,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________.
答案 eq \f(\r(15),5)
解析 以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
∴F(1,0,0),D1(0,0,2),O(1,1,0),E(0,2,1),
∴eq \o(FD
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