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2014届高三数学大一轮复习62等差数列及其前n项和教案理新人教A版
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§6.2 等差数列及其前n项和
2014高考会这样考 1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明;2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题;3.考查等差数列的性质及综合应用.
复习备考要这样做 1.准确理解概念,掌握等差数列的有关公式和性质;2.注意不同性质的适用条件和注意事项.
1. 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示.
2. 等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
3. 等差中项
如果A=eq \f(a+b,2),那么A叫做a与b的等差中项.
4. 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
5. 等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=eq \f(n?a1+an?,2)或Sn=na1+eq \f(n?n-1?,2)d.
6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=eq \f(d,2)n2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1-\f(d,2)))n.
数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn,(A、B为常数).
7. 等差数列的最值
在等差数列{an}中,a10,d0,则Sn存在最__大__值;若a10,d0,则Sn存在最__小__值.
[难点正本 疑点清源]
1. 等差数列的判断方法
(1)定义法:an-an-1=d (n≥2);
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.
2. 等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.
(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(3)S2n-1=(2n-1)an.
3. 等差数列与函数
在d≠0时,an是关于n的一次函数,一次项系数为d;Sn是关于n的二次函数,二次项系数为eq \f(d,2)???且常数项为0.
1. (2012·江西)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=____.
答案 35
解析 两个等差数列的和数列仍为等差数列.
设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21,则c5=2c3-c1=2×21-7=35.
2. 已知两个数列x,a1,a2,a3,y与x,b1,b2,y都是等差数列,且x≠y,则eq \f(a2-a1,b2-b1)的值为________.
答案 eq \f(3,4)
解析 ∵a2-a1=eq \f(1,4)(y-x),b2-b1=eq \f(1,3)(y-x),
∴eq \f(a2-a1,b2-b1)=eq \f(3,4).
3. 已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a5=________.
答案 15
解析 ∵{an}为等差数列,∴a3+a8=a5+a6=22,
∴a5=22-a6=22-7=15.
4. (2011·江西)设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1等于( )
A.18 B.20 C.22 D.24
答案 B
解析 因为S10=S11,所以a11=0.
又因为a11=a1+10d,所以a1=20.
5. (2012·辽宁)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于( )
A.58 B.88 C.143 D.176
答案 B
解析 S11=eq \f(11?a1+a11?,2)=eq \f(11?a4+a8?,2)=88.
题型一 等差数列基本量的计算
例1 (2011·福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
思维启迪:等差数列基本量的计算,基本思想就是根据条件列方程,求等差数列的首项与公差.
解 (1)设等差数列{an}的公差为
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