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2014年全国各地中考数学模拟试卷精选精练二次函数的应用(含答案)
二次函数的应用
一、选择题
1、(河北模拟)某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线,一条水流的高度h(单位:m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是
A.6s B.4s C.3s D.2s
答案:A
二、解答题
1、(深圳育才二中一摸)如图,抛物线的图象与轴交于、两点,与轴交于点,已知点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点是线段下方的抛物线上一点,求的面积的最大值,并求出此时点的坐标.
解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
则
∴抛物线的解析式为:…………………………2分
(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4
∴又OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB …………………………3分
∴∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90° …………………………4分
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径………………………5分
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为……………………6分
(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:
设直线,则该直线的解析式可表示为:,
当直线与抛物线只有一个交点时,可列方程:,且△=0
则
∴直线:.………………8分
由于,长度是定值,则当最大(即点M到直线BC的距离最远)时,的面积最大
所以点M即直线和抛物线的唯一交点,则………………9分
解得:
即 M(2,﹣4).………………10分
2、(广西南丹中学一摸)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是 ,b= ,c= ;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
【解答】(1)(0,-3),b=-,c??-3. 3分
(2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0).
∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5.
由题意,得△BHP∽△BOC,
∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5,
∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5,
∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.
∴OH=OB-HB=4-4t.
由y=x-3与x轴交于点Q,得Q(4t,0).
∴OQ=4t. 4分
①当H在Q、B之间时,
QH=OH-OQ
=(4-4t)-4t=4-8t. 5分
②当H在O、Q之间时,
QH=OQ-OH
=4t-(4-4t)=8t-4. 6分
综合①,②得QH=|4-8t|; 6分
(3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似. 7分
①当H在Q、B之间时,QH=4-8t,
若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,
∴t=. 8分
若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,
即t2+2t-1=0.
∴t1=-1,t2=--1(舍去). 9分
②当H在O、Q之间时,QH=8t-4.
若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,
∴t=. 10分
若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,
即t2-2t+1=0.
∴t1=t2=1(舍去). 11分
综上所述,存在的值,t1=-1,t2=,t3=. 12分
3、(河北二摸)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是 ,b= ,c= ;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
解:(1)(0,-3),b=-,c=-3.…………………………………………3分
(2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0).…4分
∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5.
由题意,得△BH
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