2014年高三数学第一轮复习对数函数.doc

2014年高三数学第一轮复习：对数函数 一、考纲点击 对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 （2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。 （4）了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（） 二、热点提示 对数函数 （1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。 （2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。 【考纲知识梳理】 对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 （2）几种常见对数 表格  SEQ 表格 \* ARABIC 1 对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）： ①，②，③，④。 （2）对数的重要公式： ①换底公式： ； ②，推广。 （3）对数的运算法则： 如果，那么 ①； ②； ③R）； ④。 3、对数函数的图象与性质 图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，； 当时，（4）当时，； 当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0cd1ab. 4、反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 【热点难点精析】 对数函数 一、对数的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、???、商运算； 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； 约分、合并同类项，尽量求出具体值。 〖例1〗计算 （1）；（2）； （3） 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 二、比较大小 1、相关链接 （1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a1,f(x)0.g(x)0,则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0; ②0a1,f(x)0,g(x)0,则logaf(x)logag(x) 0f(x)g(x) （2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若ab1，如图1. 当f(x)1时，logbf(x)logaf(x); 当0f(x)1时，logaf(x) logbf(x). ②若1ab0,如图2。 当f(x)1时，logbf(x) logaf(x); 当1f(x)0时，logaf(x) logbf(x). ③若a1b0。 当f(x)1时，则logaf(x) logbf(x); 当0f(x)时，则logaf(x)logbf(x). （3）比较大小常用的方法 ①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析 〖例〗对于，给出下列四个不等式： ① ②； ③ ④其中成立的是（ ） （A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④ 分析：从题设可知，该题主要考查与两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。 解答：选D。∵0a1,∴a,1+a1+,∴,即②④正确。 三、对数函数性质应用 1、相关链接 （1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。 （2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。 （3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域； ②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x) ③分别确定这两个函数的单调区间； ④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。 2、例题解析 〖例〗设函数. (1)求的单调区间; (2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为. 1分 由得; 2分