2014年高考数学三轮复习难点突破教学案难点06数列与不等式相结合的问题.doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题． 1 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得． 例1(浙江省各校新高考研究联盟2013届第一次联考)已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 思路分析：(1)由得出两特殊等式，可求得和，问题即可解决；(2)由(1)可求出，尽而求出与的不等关系，构造关于的函数，利用函数性质求解． 点评：(1)数列一般包含着多个基本量，如首项、公差(公比)、项数、前n项和等．在知道一些量求其他未知量时，通常用方程的思想考虑． (2)数列的通项公式、前n项和公式是特殊的函数，对于数列的最值问题往往需要构造函数，利用函数的单调性来解决最值问题，这也是函数思想在数列中的具体应用． 例2 等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项???求使a1＋a2＋…＋an＞eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)恒成立的正整数的取值范围． 思路分析：利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数的取值范围． 点评：本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果．本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用． 例3 （08·全国Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 思路分析：第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解．点评：一般地，如果求条件与前项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解．本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视． 2 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的． 2.1 比较法 常使用作差比较法和作商比较法，特别是差值比较法是最根本的方法． 例4 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设p、q都是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜eq \f(1,2)(S2p＋S2q)． 思路分析：根据条件首先利用等差数列的通项公式及前项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决． 点评：　利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化． 例5 （2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列． (1) 证明：; (2) 求数列的通项公式; (3) 证明：对一切正整数,有． 2.2 放缩法 高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现．放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别