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2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)函数基本性质
2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数基本性质
一.【课标要求】
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;
2.结合具体函数,了解奇偶性的含义;
二.【命题走向】
从近几年来看,函数性质是高考命题的主线索,不论是何种函数,必须与函数性质相关联,因此在复习中,针对不同的函数类别及综合情况,归纳出一定的复习线索
预测2010年高考的出题思路是:通过研究函数的定义域、值域,进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值
预测明年的对本讲的考察是:
(1)考察函数性质的选择题1个或1个填空题,还可能结合导数出研究函数性质的大题;
(2)以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质,以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点
三.【要点精讲】
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
eq \o\ac(○,1) 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
eq \o\ac(○,2) 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
eq \o\ac(○,1) 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
eq \o\ac(○,2) 确定f(-x)与f(x)的关系;
eq \o\ac(○,3) 作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数
(3)简单性质:
①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.单调性
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);
注意:
eq \o\ac(○,1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
eq \o\ac(○,2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2)
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
(3)设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g : x→u=g(x) 的象集:
①若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是增函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
eq \o\ac(○,1) 任取x1,x2∈D,且x1x2;
eq \o\ac(○,2) 作差f(x1)-f(x2);
eq \o\ac(○,3) 变形(通常是因式分解和配方);
eq \o\ac(○,4) 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
eq \o\ac(○,5) 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数增函数是增函数;
减函数减函数是减函数;
增函数减函数是增函数;
减函数增函数是减函数。
3.最值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
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