2014高考数学二轮复习疯狂时刻立体几何综合问题.doc

PAGE  PAGE - 5 - 2014数学高考疯狂时刻引领状元之路： 立体几何综合问题 一、 填空题 1.若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为　　　　.? 　(第2题) 2. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O为底面正方形ABCD的中心,则三棱锥B1BCO的体积=　　　　.? 3.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为　　　　.? 4. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.? 5. 已知一圆柱的侧面展开图是长和宽分别为3π和π的矩形,则该圆柱的体积是　　　　.? 　(第6题) 6. 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为　　　　cm.? 7. 如图,用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的容积是　　　　.? (第7题) 8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是　　　　寸.? (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式是V台体=h(S++S),其中S,S分别为上、下底面面积,h为台体高) 二、解答题 9.如图,正三棱锥OABC底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积. 　(第9题) 10. 已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAB是等边三角形,侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形,E为CD的中点,M为SB的中点. (1) 求证:CM∥平面SAE; (2) 求证:SE⊥平面SAB; (3) 求三棱锥SAED的体积. 　(第10题) 11. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC=AD. (1) 求证:CD⊥平面PAC; (2) 侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由. (第11题) 立体几何综合问题 1. 1∶8 2. 3. 4. 5. 或 6. 13 7. 8. 3 9. 由已知条件可知,正三棱锥OABC的底面△ABC是边长为2的等边三角形, 经计算得S△ABC=. 所以该三棱锥的体积=××1=. 设O是正三角形ABC的中心. 由正三棱锥的性质可知,OO⊥平面ABC.延长AO交BC于D,得AD=,OD=.又因为OO=1,所以正三棱锥的斜高OD=, 故侧面积为×6×=2. 所以该三棱锥的表面积=+2=3. 因此,所求三棱锥的体积为,表面积为3. 10. (1) 取SA的中点N,连接MN, 因为M为SB的中点,N为SA的中点,所以MN∥AB,且MN=AB. 又E为CD的中点,所以CE∥AB,且CE=AB. 所以MN∥CE,且MN=CE, 所以四边形CENM为平行四边形, 所以CM∥EN. 又EN?平面SAE,CM?平面SAE,所以CM∥平面SAE. (2) 因为侧面SCD是直角三角形,∠CSD为直角,E为CD的中点,所以SE=1. 又SA=AB=2,AE=,所以SA2+SE2=AE2, 则ES⊥SA. 同理可证ES⊥SB. 因为SA∩SB=S,所以SE⊥平面SAB. (3) ===×××4×1=. 11. (1) 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD. 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD. 而CD?底面ABCD,所以PA⊥CD. 在底面ABCD中,因为∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=AD,所以AC=CD=AD,所以AC⊥CD. 又因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC. (2) 在PA上存在中点E,使得BE∥平面PCD. 证明如下:设PD的中点是F, 连接BE,EF,FC,则EF∥AD,且EF=AD. (第11题) 由已知∠ABC=∠BAD=90°,所以BC∥AD. 又BC=AD,所以BC∥EF,且BC=EF, 所以四边形BEFC为平行四边形,所以BE∥CF. 因为BE?平面PCD,CF?平面PCD,所以BE∥平面PCD.