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2014高考数学理二轮专题突破文档61排列与组合二项式定理
河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题
第 PAGE 12 页 共 NUMPAGES 12 页
[来源:中_国教_育出_版网]
第1讲 排列与组合、二项式定理
【高考考情解读】 1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主,主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等;对二项式定理的考查,主要是利用通项求展开式的特定项,利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题.主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查,一般以选择题、填空题形式出现,难度中等,还经常与概率问题相结合,出现在解答题的第一或第二个小题中,难度也为中等;对于二项式定理的考查,主要出现在选择题或填空题中,难度为易或中等.
1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
2. 排列与组合
(1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是Aeq \o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)或写成Aeq \o\al(m,n)=eq \f(n!,?n-m?!).
(2)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是
Ceq \o\al(m,n)=eq \f(n?n-1??n-2?…?n-m+1?,m!)
或写成Ceq \o\al(m,n)=eq \f(n!,m!?n-m?!).
(3)组合数的性质
①Ceq \o\al(m,n)=Ceq \o\al(n-m,n);
②Ceq \o\al(m,n+1)=Ceq \o\al(m,n)+Ceq \o\al(m-1,n).
3.二项式定理
(1)定理:(a+b)n=Ceq \o\al(0,n)anb0+Ceq \o\al(1,n)an-1b??Ceq \o\al(2,n)an-2b2+…+Ceq \o\al(r,n)an-rbr+…+Ceq \o\al(n,n)a0bn(r=0,1,2,…,n).
(2)二项展开式的通项
Tr+1=Ceq \o\al(r,n)an-rbr,r=0,1,2,…,n,其中Ceq \o\al(r,n)叫做二项式系数.
(3)二项式系数的性质
①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,
即Ceq \o\al(0,n)=Ceq \o\al(n,n),Ceq \o\al(1,n)=Ceq \o\al(n-1,n),…,Ceq \o\al(k,n)=Ceq \o\al(n-k,n),….[来源:中教网]
②最大值:当n为偶数时,中间的一项的二项式系数Ceq \f(n,2)n取得最大值;当n为奇数时,中间的两项的二项式系数Ceq \f(n-1,2)n,Ceq \f(n+1,2)n相等,且同时取得最大值.
③各二项式系数的和
a.Ceq \o\al(0,n)+Ceq \o\al(1,n)+Ceq \o\al(2,n)+…+Ceq \o\al(k,n)+…+Ceq \o\al(n,n)=2n;
b.Ceq \o\al(0,n)+Ceq \o\al(2,n)+…+Ceq \o\al(2r,n)+…=Ceq \o\al(1,n)+Ceq \o\al(3,n)+…+Ceq \o\al(2r+1,n)+…
=eq \f(1,2)·2n=2n-1.
考点一 两个计数原理
例1 (1)(2013·山东)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275),那么所有凸数的个数为 ( )
A.240 B.204 C.729 D.920
本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用,解题的关键是合理分类,正确分步.
答案 (1)B (2)A
解析 (1)无重复的三位数有:Aeq \o\al(3,9)
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