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2014高考数学一轮汇总训练《导数的应用》理新人教A版
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eq \a\vs4\al(第十二节 导数的应用?Ⅰ?)
[备考方向要明了]
考 什 么怎 么 考1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).利用导数研究函数的单调区间、极值或最值,其考查题型有:
(1)利用导数求单调区间,如2012年北京T18等.
(2)利用单调性求参数范围,如2011年江苏T19等,
(3)利用导数求函数的极值,或最值,如2012年陕西T7,安徽T19等.
(4)已知函数的极值或最值求参数,如2012年江苏T18等.
[归纳·知识整合]
1.函数的单调性与导数
[探究] 1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)0吗?f′(x)0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?
提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0,
f′(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值与导数
(1)函数的极小值:
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a点叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值:
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b点叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.
[探究] 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件?
提示:不一定.可导函数的极值点导数为零,但导数为零的点未必是极值点;如函数f(x)=x3,在x=0处,有f′(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点;其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件.
3.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:
一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
[探究] 3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别?
提示:极值是局部概念,指某一点附近函数值的比较,因此,函数在极大(小)值,可以比极小(大)值小(大);最值是整体概念,最大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)函数f(x)=ex-x的单调递增区间是( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,0] D.(0,+∞)
解析:选D ∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1,
由f′(x)0,得ex-10,即x0.
2.(教材习题改编)函数f(x)=eq \f(1,3)x3-4x+4有( )
A.极大值eq \f(28,3),极小值eq \f(4,3)
B.极大值-eq \f(4,3),极小值eq \f(28,3)
C.极大值eq \f(4,3),极小值-eq \f(28,3)
D.极大值eq \f(28,3),极小值-eq \f(4,3)
解析:选D ∵f(x)=eq \f(1,3)x3-4x+4,
∴f′(x)=x2-4,令f′(x)=0,则x=±2.
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)0;
当x∈(-2,2)时,f′(x)0;
当x∈(2,+∞)时,f′(x) 0.
∴f(x)极大值=f(-2)=eq \f(28,3),f(x)极小值=f(2)=-eq \f(4,3).
3.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )
解析:选D 当x0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当x0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象可知,导数在区间(0,x1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f(x)单调
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