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2015中考数学8一元二次方程及应用
第8课时 一元二次方程及应用
【基础知识梳理】
一、一元二次方程的定义:
1、一元二次方程:含有 个未知数,并且未知数 _的整式方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式:
其中二次项是 一次项是 常数项是
注意:
1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列,并且一般首项为正
二、一元二次方程的常用解法:
1、直接开平方法:如果ax2 = b 则x2= ,x1= , x2=
2、配方法:解法步骤:
①、化二次项系数为 , 即方程两边都 二次项的系数
②、移项:把 项移到方程的 边
③、配方:方程两边都加上 把左边配 成完全平方的形式
④、解方程:若方程右边是非负数,则可用直接开平方法解方程。
3、公式法:如果一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0,则一元二次方程的求根公式为
4、因式分解法:
一元二次方程化为一般形式,如果左边分解因式,即产生A×B=0的形式,则可将原方程化为两个 方程,即 ______ 从而求出方程的两根。
注:因式分解的方法:
(1)提公因式法
(2)公式法:①平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=(a-b)2
(3)分组分解法
(4)十字相乘法
注意:一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用
三、一元二次方程根的判别式:
关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由 决定,我们把它叫做一元二次方程根的判别式,一般用符号“Δ”表示
①当 时,方程有两个不相等的实数根
②当 时,方程看两个相等的实数根
③当 时,方程没有实数根
注意:
(1)方程有两个实数根,则△=b2-4ac≥0
(2)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数不为0
四、一元二次方程根与系数的关系:
关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1,x2
则x1+x2 = x1x2 =
五、一元二次方程的应用:
解法步骤同一元一次方程一样,仍按照审、设、列、解、验、答六步进??
(实际解题过程中,可以先找等量关系,根据等量关系缺少什么未知数就设什么未知数)
常见题型:
1、增长率问题:连续两率增长或降低的百分数
2、利润问题:总利润= ×
3、几个图形的面积、体积问题:按面积的计算公式列方程
注意:因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。
【基础诊断】
1、下列方程中,不是一元二次方程的是( )
A. 2x2+7=0 B. 2x2+2x+1=0 C. 5x2++4=0 D. 3x2+(1+x)+1=0
2、一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是( )
A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=﹣2 C.x1=﹣1,x2=﹣2 D. x1=﹣1,x2=2
3、(2014?益阳)一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是( )
A. m>1 B. m=1 C. m<1 D. m≤1
4、(2014?威海)方程x2﹣(m+6)+m2=0有两个相等的实数根x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是( )
A. ﹣2或3 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
5、(2014四川巴中)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?
【精典例题】
考点一:一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)
例1、(2014?白银)一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0,则a= .
分析: 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.
解答: 解:∵一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0,
∴a+1≠0且a2﹣1=0,∴a=1.故答案为1.
考点二:一
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