2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义42同角三角函数基本关系及诱导公式.doc

§4.2　同角三角函数基本关系及诱导公式 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：eq \f(sin α,cos α)＝tan α. 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－αeq \f(π,2)－αeq \f(π,2)＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3． 六组诱导公式 组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq \f(π,2)－αeq \f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限  1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　×　) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． (　×　) (3)若cos(nπ－θ)＝eq \f(1,3)(n∈Z)，则cos θ＝eq \f(1,3). (　×　) (4)已知sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cos θ＝eq \f(4－2m,m＋5)，其中θ∈[eq \f(π,2)，π]，则m－5或m≥3. (　×　) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝eq \f(\r(3)－1,2)，则tan θ的值为－eq \r(3)或－eq \f(\r(3),3). (　×　) (6)已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α)的值是－eq \f(1,3). (　√　) 2． 已知sin(π－α)＝log8eq \f(1,4)，且α∈(－eq \f(π,2)，0)，则tan(2π－α)的值为 (　　) A．－eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C．±eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2) 答案　B 解析　sin(π－α)＝sin α＝log8eq \f(1,4)＝－eq \f(2,3)， 又α∈(－eq \f(π,2)，0)， 得cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),3)， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(2\r(5),5). 3． 若tan α＝2，则eq \f(2sin α－cos α,sin α＋2cos α)的值为________． 答案　eq \f(3,4) 解析　原式＝eq \f(2tan α－1,tan α＋2)＝eq \f(3,4). 4． 已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝________. 答案　－eq \f(2,3) 解析　sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(2,3). 5． 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2cos \f(π,3)x，x≤2 000，,x－15，x2 000，))则f[f(2 015)]＝________. 答案　－1 解析　∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 0