2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义41任意角弧度制及任意角的三角函数.doc

§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1． 角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制 (1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad,1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2. 3． 任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4． 三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线　 (Ⅰ)　　　　　(Ⅱ) 　 (Ⅲ)　　　　　(Ⅳ) 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角． (　×　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然． (　×　) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等． (　√　) (4)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限． (　√　) (5)α∈(0，eq \f(π,2))，则tan ααsin α. (　√　) (6)α为第一象限角，则sin α＋cos α1. (　√　) 2． 下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　) A．2kπ＋45° (k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9,4)π (k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4) (k∈Z) 答案　C 解析　与eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 3． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 (　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　设此扇形的半径为r，弧长为l， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.)) 从而α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,1)＝4或α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,2)＝1. 4． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________. 答案　－8 解析　因为sin θ＝eq \f(y,\r(42＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)， 所以y0，且y2＝64，所以y＝－8. 5． 函数y＝eq \r(2cos x－1)的定义域为________． 答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0，∴cos x≥eq \f(1,2). 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\