2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义44三角函数的图像和性质.doc

§4.4　三角函数的图像和性质 1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)． 2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图像定义域RR{x|x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增； [eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(eq \f(π,2)＋kπ，0) (k∈Z)(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)对称轴方程x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期． (　√　) (2)y＝sin x在x∈[0，eq \f(π,2)]上是增函数． (　√　) (3)y＝cos x在第一、二象限上是减函数． (　×　) (4)y＝tan x在整个定义域上是增函数． (　×　) (5)y＝ksin x＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1. (　×　) (6)若sin xeq \f(\r(2),2)，则xeq \f(π,4). (　×　) 2． (2012·福建)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图像的一条对称轴是 (　　) A．x＝eq \f(π,4) B．x＝eq \f(π,2) C．x＝－eq \f(π,4) D．x＝－eq \f(π,2) 答案　C 解析　方法一　∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z. 取k＝－1，则x＝－eq \f(π,4). 方法二　用验证法． x＝eq \f(π,4)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＝0，不合题意，排除A； x＝eq \f(π,2)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，不合题意，排除B； x＝－eq \f(π,4)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1，符合题意，C项正确； x＝－eq \f(π,2)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)，不合题意，故D项也不正确． 3． 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))f(π)，则下列结论正确的是 (　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,1