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2015届高三数学黄金考点汇编05函数的性质(单调性奇偶性周期性)理(含解析)
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考点05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)
【考点分类】
热点一 函数的单调性
1.【2014高考北京版理第2题】下列函数中,在区间为增函数的是 ( )
A. B. C. D.
2.【2014高考福建卷第4题】若函数的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是( )
3.【2014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中,函数的图像可能是( )
4.【2014辽宁高考理第3题】已知,,则( )
A. B. C. D.
5.【2014陕西高考理第7题】下列函数中,满足“”的单调递增函数是( )
(A) (B) (C) (D)
6.【2014天津高考理第4题】函数的单调递增区间是 ( )
(A) (B) (C) (D)
7.【2014高考湖南卷第10题】已知函数与图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
8.【2014高考上海理科第18题】若是的最小值,则的取值范围为( )
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)
【方法规律】
1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解.
(2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.
2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间.
(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则f(x1)f(x2) f(x1)-f(x2)0,若函数是增函数,则f(x1) f(x2)x1x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.
【易错点睛】
误区1. 用定义证明函数的单调性时,错用“自己证明自己”而致错(循环论证).
误区2.求复合函数的单调区间时,忽视函数的定义域而致错
【例2】(2014浙江宁波十校联考)求y=eq \r(x2-4x-12)的单调区间.
【错解】令t=x2-4x-12,则t=x2-4x-12在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,又y=eq \r(t)是增函数,所以y=eq \r(x2-4x-12)的单调区间是(-∞,2]与[2,+∞),其中在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增.
【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤-2或x≥6}.
【正解】由x2-4x-12≥0,得x≤-2或x≥6,令t=x2-4x-12,则t=(x-2)2-16在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数.又y=eq \r(t)是增函数,所以y=eq \r(x2-4x-12)的单调区间是(-∞,-2]与[6,+∞),其中在(-∞,-2]上递减,在[6,+∞)上递增.
【点拨】求解复合函数单调性问题,必须考虑函数的定义域,建立“定义域优先”意识.
误区3. 忽视隐含条件致误
【例3】已知f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?3a-1?x+4a,x<1,,logax,x≥1))是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,eq \f(1,3)) C.[eq \f(1,7),eq \f(1,3)) D.[eq \f(1,7),1)
【错解】误选B项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件,要知道函数在R上为减函数,还需使得f(x)=(3a-1)x+4a在x<1上的最小值不小于f(x)=logax在x≥1上的最大值,多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误.
【正解】据题意使原函数在定义域R上为减函数,只需满足:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a-1<0,,0<a<1,,?3a-1?×1+4a≥loga1))?eq \f(1,
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