2015年高三数学(理)一轮复习讲义选修45第1讲不等式(人教A版).doc

第1讲　不等式、含有绝对值的不等式 [必威体育精装版考纲] 1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法. 知 识 梳 理 1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； (2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|； (3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解法 不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}??|x|a{x|xa，或x－a}{x|x∈R，且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 诊 断 自 测 1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________． 解析　数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集． 答案　(－4，－2)∪(0,2) 2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________． ①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|. 解析　∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确． 答案　①④ 3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________． 解析　令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，x≤4，,－2x＋12，4＜x≤8，,－4，x＞8，)) 当x≤4时，f(x)＝4＞2； 当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5， ∴4＜x＜5； 当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x|x＜5}． 答案　{x|x＜5} 4．(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析　∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案　2 5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________． 解析　∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1. 答案　(－∞，1)  考点一　含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5. 解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5? eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－2，,－?x－1?－?x＋2?≥5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＜x＜1，,－?x－1?＋x＋2≥5)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－1＋x＋2≥5，))解得x≥2或x≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0. 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－6，x≤－2，,－2，－2＜x＜1，,2x－4，x≥1.))作出函数的图象，如图所示． 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 规律方法 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的