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2015年高中数学122空间两条直线的位置关系教案苏教版必修2
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1.2.2 空间两条直线的位置关系(1)
教学目标:
1.了解空间两条直线的位置关系;
2.理解并掌握公理4及等角定理;
3.初步培养学生空间想象能力,抽象概括能力,让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略.
教材分析及教材内容的定位:
本节课是研究空间线线位置关系的基础,异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4是等角定理的基础,而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础,也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一,而这个思想的形成需要一个过程,本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.
教学重点:
异面直线的定义,公理4及等角定理.
教学难点:
异面直线的定义,等角定理的证明,空间问题平面化思想的渗透.
教学方法:
启发引导学生概括空间两条直线的位置关系,类比平面几何中的结论学习公理4及等角定理.
教学过程:
一、问题情境
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
A
C
1
1.在平面几何中,两条直线的位置关系有哪些?观察教室中的墙角线、电棒等所在的直线,说说空间两条直线有哪些位置关系?
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出下列两条直线的位置关系:
(1)AB和AD; (2)AB和CD;
(3)AB和C1D1;(4)AB和B1C1;
3.在上图中,∠CAB的两边和∠C1A1B1的两边在位置上有何关系?这两角的大小呢?
二、学生活动
1.说出教室内墙角线所在的直线之间的位置关系,由此概括空间两条直线位置关系;
2.观察正方体中各棱所在的直线的位置关系,由此得出公理4;
3.由问题情境3,概括等角定理.
三、建构数学
1.引导学生描述异面直线的定义;
2.空间两条直线的位置关系有以下三种:
(1)相交直线:在同一个平面内,有且只有一个的两条直线;
(2)平行直线:在同一个平面内,没有公共点的两条直线;
(3)异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线;
从有无公共点的角度,可以将空间两条直线的位置关系分成:相交直线和不相交直线两类;
从是否共面的角度,可以将空间两条直线的位置关系分成:共??直线和不共面直线两类;
3.平行的传递性:
a∥b
b∥c
?a∥c
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示:
4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
思考:如果将定理中“方向相同”这一条件去掉,结论会是怎样的呢?
四、数学运用
1.例题.
A
B
C
D
B1
1
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
E
F
例1 如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E、F分别为AB、BC的中点,求证:EF∥A1C1.
变式:如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点,四边形EFGH的形状是平行四边形吗?为什么?如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD,那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗?
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
折叠
例2 如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E1,E分别为A1D1,AD的中点,求证:∠C1E1B1=∠CEB.
E1
E
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
1
2.练习.
(1)若两直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系________________.
(2)直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线,则a和b的位置关系是_________.
∥
=
∥
=
(3)如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,∠AOB=40o,则∠A1O1B1= .
A
C
B
A1
C1
B1
(4)如图已知AA1,BB1,CC1不共面,AA1 BB1,BB1 CC1,求证:△ABC≌△A1B1C1.
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容:
1.异面直线的概念;
2.空间两条直线的位置关系;
3.公理4和等角定理;
4.公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.
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