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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第一章13
§1.3 全称量词与存在量词、逻辑联结词
1. 全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任意一条”“一切”等.
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.
2. 全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
3. 命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
(2)p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q.
4. 简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.
(2)简单复合命题的真值表:
pq綈p綈qp或qp且q綈(p或q)綈(p且q)綈p或綈q綈p且綈q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题且q为假命题,则命题p、q都是假命题. ( × )
(2)已知命题p:存在n0∈N,2n01 000,则綈p:存在n∈N,2n0≤1 000. ( × )
(3)命题p和綈p不可能都是真命题. ( √ )
(4)命题“任意x∈R,x2≥0”的否定是“任意x∈R,x20”. ( × )
(5)若命题p、q至少有一个是真命题,则p或q是真命题. ( √ )
2. 命题p:任意x∈R,sin x1;命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列结论是真命题的
是 ( )
A.p且q B.綈p且q
C.p或綈q D.綈p且綈q
答案 B
解析 p是假命题,q是真命题,
∴綈p且q是真命题.
3. (2013·重庆)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为 ( )
A.对任意x∈R,都有x20
B.不存在x∈R,使得x20
C.存在x0∈R,使得xeq \o\al(2,0)≥0
D.存在x0∈R,使得xeq \o\al(2,0)0
答案 D
解析 因为“任意x∈M,p(x)”的否定是“存在x∈M,綈p(x)”,故“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,使得xeq \o\al(2,0)0”.
4. (2013·湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )
A.(綈p)或(綈q) B. p或(綈q)
C.(綈p)且(綈q) D.p或q
答案 A
解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”=(綈p)或(綈q).
5. 若命题“存在x∈R,x2-mx-m0”是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 [-4,0]
解析 “存在x∈R,x2-mx-m0”是假命题,则“任意x∈R,x2-mx-m≥0”是真命题.即Δ=m2+4m≤0,∴-4≤m≤0.
题型一 全(特)称命题的否定
例1 写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:任意x∈R,x2-x+eq \f(1,4)≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:存在x0∈R,xeq \o\al(2,0)+2x0+2≤0;
(4)s:至少有一个实数x0,使xeq \o\al(3,0)+1=0.
思维启迪 否定量词,否定结论,写出命题的否定;判断命题的真假.
解 (1)綈p:存在x0∈R,xeq \o\al(2,0)-x0+eq \f(1,4)0,假命题.
(2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)綈r:任意x∈R,x2+2x+20,真命题.
(4)綈s:任意x∈R,x3+1≠0,假命题.
思维升华 (1)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定.
②对原命题的结论进行否定.
(2)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立.
(1)已知命题p:任意x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则綈p是( )
A.存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B.任意x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C.存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1
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