- 1、本文档共14页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义选修45第2讲不等式的证明
第2讲 不等式的证明
[必威体育精装版考纲]
了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,并能用它们证明一些简单不等式.
知 识 梳 理
1.基本不等式
定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:如果a、b为正数,则eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab),当且仅当a=b时,等号成立.
定理3:如果a、b、c为正数,则eq \f(a+b+c,3)≥eq \r(3,abc),当且仅当a=b=c时,等号成立.
定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数,则eq \f(a1+a2+…+an,n)≥eq \r(n,a1a2…an),当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
2.柯西不等式
(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.
(2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则(eq \i\su(i=1,n,a)eq \o\al(2,i))(eq \i\su(i=1,n,b)eq \o\al(2,i))≥(eq \i\su(i=1,n,a)ibi)2,当且仅当eq \f(b1,a1)=eq \f(b2,a2)=…=eq \f(bn,an)(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n)时等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当α,β共线时等号成立.
3.不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.
诊 断 自 测
1.已知a、b、m均为正数,且a<b,M=eq \f(a,b),N=eq \f(a+m,b+m),则M、N的大小关系是________.
解析 M-N=eq \f(a,b)-eq \f(a+m,b+m)=eq \f(m?a-b?,b?b+m?)<0,即M<N.
答案 M<N
2.设a=eq \r(3)-eq \r(2),b=eq \r(6)-eq \r(5),c=eq \r(7)-eq \r(6),则a,b,c的大小关系为________.
解析 分子有理化得a=eq \f(1,\r(3)+\r(2)),b=eq \f(1,\r(6)+\r(5)),c=eq \f(1,\r(7)+\r(6)),
∴a>b>c.
答案 a>b>c
3.若0<a<b<1,则a+b,2eq \r(ab),a2+b2,2ab中最大的一个是________.
解析 ∵a+b>2eq \r(ab),a2+b2>2ab.
又(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),
∵0<a<1,0<b<1.
∴a(a-1)+b(b-1)<0.
∴a2+b2<a+b.
答案 a+b
4.已知x,y∈R,且xy=1,则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,y)))的最小值为________.
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,y)))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,\r(xy))))2=4.
答案 4
5.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c)的最大值为________.
解析 (eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c))2=(1×eq \r(a)+1×eq \r(b)+1×eq \r(c))2≤(12+12+12)(a+b+c)=3.
当且仅当a=b=c=eq \f(1,3)时,等号成立.
∴(eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c))2≤3.故eq \r(a)+eq \r(b)+eq \r(c)的最大值为eq \r(3).
答案 eq \r(3)
考点一 分析法证明不等式
【例1】 设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.
求证:(1)a+b+c≥eq \r(3).
(2)eq \r(\f(a,bc))+eq \r(\f(b,ac))+eq \r(\f(c,ab))≥ eq \r(3)(
您可能关注的文档
- 2015年小学数学六年级总复习(六)分数百分数的四则计算.doc
- 2015年度河南工程建设标准制订修订计划.doc
- 2015年尚蓝轩执业医师助理医师考试题库呼吸系统讲义1101.doc
- 2015年度瓦斯综合治理攻坚方案(定稿).doc
- 2015年度继续教育考核答案.docx
- 2015年开门红启动会主持词(1114修改).doc
- 2015年战略风险与管理新增重要知识.doc
- 2015年房山区初三一模数学试题及答案.doc
- 2015年执业医师综合笔试真题及答案汇总.doc
- 2015年患者十大安全目标.doc
- GB/T 32151.38-2024温室气体排放核算与报告要求 第38 部分:水泥制品生产企业.pdf
- 中国国家标准 GB/T 32151.38-2024温室气体排放核算与报告要求 第38 部分:水泥制品生产企业.pdf
- 《GB/T 22069-2024燃气发动机驱动空调(热泵)机组》.pdf
- GB/T 22069-2024燃气发动机驱动空调(热泵)机组.pdf
- 中国国家标准 GB/T 22069-2024燃气发动机驱动空调(热泵)机组.pdf
- 中国国家标准 GB/T 11064.1-2024碳酸锂、单水氢氧化锂、氯化锂化学分析方法 第1部分: 碳酸锂含量的测定 滴定法.pdf
- GB/T 11064.1-2024碳酸锂、单水氢氧化锂、氯化锂化学分析方法 第1部分: 碳酸锂含量的测定 滴定法.pdf
- 《GB/T 11064.1-2024碳酸锂、单水氢氧化锂、氯化锂化学分析方法 第1部分: 碳酸锂含量的测定 滴定法》.pdf
- GB/T 1148-2024内燃机 铝活塞.pdf
- 中国国家标准 GB/T 1148-2024内燃机 铝活塞.pdf
文档评论(0)