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2015步步高高中数学理科文档第十一章113
§11.3 变量间的相关关系、统计案例
1.两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.
(2)负相关
在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
2.回归方程
(1)最小二乘法
求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(2)回归方程
方程eq \o(y,\s\up6(^)) =eq \o(b,\s\up6(^)) x+eq \o(a,\s\up6(^)) 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中eq \o(a,\s\up6(^)) ,eq \o(b,\s\up6(^)) 是待定参数.
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^)) =\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1)) ?xi-\x\to(x)??yi-\x\to(y)?,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1)) ?xi-\x\to(x)?2)=\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xiyi-n\x\to(x) \x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))x\o\al(2,i)-n\x\to(x)2),\o(a,\s\up6(^)) =\x\to(y)-\o(b,\s\up6(^)) \x\to(x))).
3.回归分析
(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中(eq \x\to(x),eq \x\to(y))称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r0时,表明两个变量正相关;
当r0时,表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.
4.独立性检验
(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.
(2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d构造一个随机变量K2=eq \f(n?ad-bc?2,?a+b??c+d??a+c??b+d?),其中n=a+b+c+d为样本容量.
(3)独立性检验
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系. ( × )
(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系. ( √ )
(3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值. ( √ )
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系,得回归方程eq \o(y,\s\up6(^))=-2.352x+147.767,则气温为2℃时,一定可卖出143杯热饮. ( × )
(5)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的K2的观测值越大. ( √ )
(6)由独立性检验可知,有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有99%的可能物理优秀. ( × )
2.下面哪些变量是相关关系 ( )
A.出租车车费与行驶的里程
B.房屋面积与房屋价格
C.身高与体重
D.铁块的大小与质量
答案 C
3.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:
身高x(cm) 160 165 170 175 180
体重y(kg) 63 66 70 72 74
根据上表可得线性回归方程eq \o(y,\s\up6(^))=0.56x+eq \o(a,\s\up6(^)),据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为 ( )
A.70.09 kg B.70.12 k
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