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2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库213导数的应用(二)
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第十三节 导数的应用(二)
时间:45分钟 分值:75分
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.函数y=ax3-x在R上是减函数,则( )
A.a=eq \f(1,3) B.a=1
C.a=2 D.a≤0
解析 y′=3ax2-1,因为函数y=ax3-x在R上是减函数,所以3ax2-1≤0在R上恒成立,所以a≤0.故选D.
答案 D
2.已知a≤eq \f(1-x,x)+lnx对任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2))恒成立,则a的最大值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 设f(x)=eq \f(1-x,x)+lnx=eq \f(1,x)+lnx-1,
则f′(x)=-eq \f(1,x2)+eq \f(1,x)=eq \f(x-1,x2).
当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))时,f′(x)0,
故函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))上单调递减;
当x∈(1,2]时,f′(x)0,
故函数f(x)在(1,2]上单调递增.
∴f(x)min=f(1)=0.
∴a≤0,故a的最大值为0.故选A.
答案 A
3.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为( )
A.-2m2 B.-2≤m≤2
C.m-2或m2 D.m≤-2或m≥2
解析 y′=3(1-x)(1+x),由y′=0,得x=±1,∴y极大=2,y极小=-2,∴-2m2.
答案 A
4.设a0,b0,e是自然对数的底数( )
A.若ea+2a=eb+3b,则ab
B.若ea+2a=eb+3b,则ab
C.若ea-2a=eb-3b,则ab
D.若ea-2a=eb-3b,则ab
解析 ∵a0,b0,∴ea+2a=eb+3b=eb+2b+beb+2b.对于函数y=ex+2x(x0),∵y′=ex+20,∴y=ex+2x在(0,+∞)上单调递增,因而ab成立.
答案 A
5.(2014·青岛模拟)如图为一圆锥形容器,其底面圆的直径等于圆锥母线长,水以每分钟9.3升的速度注入容器内,则注入水的高度在t=eq \f(1,27)分钟时的瞬时变化率为(注:π≈3.1)( )
A.27分米/分钟 B.9分米/分钟
C.81分米/分钟 D.9eq \r(9)分米/分钟
解析 设t时刻水面高度为h,半径为r,则r=eq \f(\r(3),3)h.
此时水的体积V=eq \f(1,3)πr2h=eq \f(1,9)πh3,又V=9.3t
所以eq \f(1,9)πh3=9.3t,且π≈3.1.
∴h=3teq \f(1,3),则h′=t-eq \f(2,3),
故当t=eq \f(1,27)分钟时的瞬时变化率为(eq \f(1,27))-eq \f(2,3)=9.
答案 B
6.(2014·东北三省联考)已知f(x)为定义在(-∞,+∞)上的可导函数,且f(x)f′(x),对于任意x∈R恒成立,则( )
A.f(2)e2·f(0),f(2 010)e2 010·f(0)
B.f(2)e2·f(0),f(2 010)e2 010·f(0)
C.f(2)e2·f(0),f(2 010)e2 010·f(0)
D.f(2)e2·f(0),f(2 010)e2 010·f(0)
解析 设g(x)=eq \f(f?x?,ex),则g′(x)=
eq \f(f′?x?ex-f?x?ex,?ex?2),
又f(x)f′(x)对x∈R恒成立,所以g′(x)0,
所以g(x)在R上单调递增.
g(2)g(0),eq \f(f?2?,e2)eq \f(f?0?,e0),
f(2)e2f(0),g(2 010)g(0),
eq \f(f?2 010?,e2 010)eq \f(f?0?,e0),f(2 010)e2 010f(0),选A.
答案 A
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=eq \f(1,3)x3-eq \f(39,2)x2-40x(x0),为使耗电量最小,则速度应定为________.
解析 由y′=x2-39x-40=0,
得x=-1或x=40,
由于0x40时,y′0;
当x40时,y′0.
所以当x=40时,y有最小值.
答案 40
8.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解
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