211第一类曲线积分的计算.doc

PAGE  PAGE 6 §21.1 第一类曲线积分的计算 1.定义 定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分． 定义 1 设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数．对曲线作分割T，它把分成n个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割T的细度为，在上任取一点(,若存在极限 且的值与分割T及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作 （1） 定义 2 若为空间可求长曲线段，为定义在上的函数，则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分为，(此处为的弧长,, 为一常数),并且记作 （2） 2.物理意义 1) 设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量， 现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段（i=1，2，…，n)，并在每一个上任取一点P由于f（P）为上的连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于f（P）,其中为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式 当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的质量． 2)空间曲线L的重心坐标为 , , 3) 曲线L的绕z轴(x, y轴)的转动惯量是 3.几何意义 1) 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度. 2) 当表示以L为准线，以平行于z轴的线为母线的曲柱面的面积。 4 性质 第一型曲线积分具有下述一些重要性质: 　 1)．若存在，为常数，则也存在，且 　　 2)．若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且 3)．若与都存在，且在上则 　　 4)．若存在，则也存在，且 　　 5)．若存在，的弧长为s，则存在常数c,使得 这里 5 第一型曲线积分的计算 定理1　设有光滑曲线　：函数为定义在上的连续函数，则　　　　　（3） 　　证明：①由弧长公式知道，上由到的弧长 ②由的连续性与积分中值定理，有　 ③所以这里 ④设 则有 （4） ⑤令则当时，必有 ⑥现在证明 因为复合函数关于t连续，所以在闭区间上有界，即存在常数M,使对一切都有 再由在上连续，所以它在上一致连续，即对任给的必存在使当时（此时，而所以）有 从而 所以 ⑦再由定积分定义(一般定积分的定义），可得 = ⑧因此当在(4)式两边取极限后，即得所要证的(3)式 ▌ 注：1）光滑曲线：若曲线满足在上都存在连续的导函数，且，这时称为光滑曲线． 2）该定理说明第一型曲线积分的计算可转换为定积分进行计算. 定理2 当曲线由方程给出，且在上有连续导函数时， (5) 定理3 当曲线由方程给出，且在上有连续导函数时, (6) 例1 设是半圆周 试计算第一型曲线积分 解: . ▌ 例2 设是从到A(1,2)一段 ,试计算第一型曲线积分 解: ▌ 定理4 设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为 则 。 证明 仿照定理1，或者参考教材。 定理5 设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为 则可化为以x为参数的参数方程。然后化为定理4的形式。 。 定理6 设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为 则在一定的条件下可化为以z为参数的参数方程，再化为定理4的形式。 。 例3 计算，其中为球面被平面所截得的圆周. 解 由对称性知 所以 ▌ 例4 求，其中是球面与平面的交线。 解法1 注: 解法1技巧性强，而不必化为定积分。 解法2 求曲线的参数方程。由，消去，得 即 令，则 于是得到两组参数方程 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则 注: 解法2常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分 这里主要难在第一步，写参数方程。解法2还给出了一种求参数方程的方法。 作业：Ｐ326 1, 3, 7