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2122解析几何专题4圆锥曲线中的最值和范围问题教师版
第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2. P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D )
A. 6 B.7 C.8 D.9
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为:(B)
(A) (B) (C) (D)
5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是 32 .
6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( B )
(A)(-∞,0) (B)(-∞,2 (C)[0,2] (D)(0,2)
★★★高考要考什么
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:
(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;
(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;
(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;
(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于:
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;
(6)构造一个二次方程,利用判别式??0。
★★★突破重难点
【例1】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,
所求方程为: (x0)
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,
此时A(x0,),B(x0,-),=2
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,
代入双曲线方程中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
解得|k|1,
又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=2
综上可知的最小值为2
【例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是右焦点,当取得最小值时,试求B点的坐标。
解:因为椭圆的,所以,而为动点B到左准线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义
于是 为定值
其中,当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立,此时B为
所以,当取得最小值时,B点坐标为
【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当时,
此时
【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2),对应的准线方程为,且离心率e满足:成等差数列。
(1)求椭圆方程;
(2)是否存在直线l,使
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