216迭代式与不动点.doc

PAGE  PAGE 7 实验十六　迭代式与不动点 【实验目的】 了解迭代的基本概念。 了解不动点的基本概念。 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 计算数列的极限 【实验准备】 1．迭代的基本概念 迭代数列：迭代就是把给定的函数连续不断地反复作用在初值上。通过迭代，我们会得到一个迭代数列： 把迭代数列记为。 迭代格式：迭代一种机械的重复动作，很适合于计算机的运算特点，因此迭代算法在各种数值方法中处于核心地位。迭代可以表示成如下的形式： 称为由函数导出的迭代格式。 2．不动点的基本概念 对迭代格式的两端取极限，当极限存在时,得到方程.函数的意义是把自变量映射成因变量,而上式的意义时表示在影射得像不发生改变.因此称该方程为不动点方程,方程的根称为函数的不动点. 3．压缩映像原理 定理1 设把区间映射成,并且存在,使得对于任意,有,则 *内存在唯一的不动点,满足; 对任意初始值,迭代序列收敛于; . 定理2 设在间内可导,且.若存在,使得对任意均有,则定理1的结论成立. 由拉格朗日中值定理可知,定理2是定理1的特例.定理不仅给出了收敛条件,而且还给出了收敛误差的估计.可以看出,越小收敛越快.但是要确定对任意均有显然不太方便.在的附近,有如下局部收敛定理: 定理3 设在的一个领域内连续且,则对该领域内的任意初始值,迭代序列收敛于. 4．迭代的MATLAB命令 MATLAB中主要用for, while等控制流命令实现迭代. 【实验方法与步骤】 练习1 计算数列的极限.可用for语句, for循环允许一组命令以固定的和预订的次数重复. For循环的一般形式为: for x=表达式1:表达式2:表达式3 语句体 end 其中表达式1的值为循环的初值,表达式2的值为步长,表达式3的值为循环的终值.如果表达式2省略,则默认为1.本练习中,相应的MATLAB代码为： clear; x=3 for i=1:10 x=sqrt(x) end 可算得迭代数列的前10项: 7321, 1.3161, 1.1472, 1.0711, 1.0349, 1.0173, 1.0086, 1.0043, 1.0021, 1.0011 可见此数列的极限为1. 本练习也可用while语句,while循环一般用于事先不能确定循环次数的情况.while循环的一般形式为: while 表达式 语句体 end 只要表达式的值为1(真),就执行while与end之间的语句体,直到表达式的值为0(假)时终止该循环.通常,表达式的值为标量,但对数组值也同样有效,此时,数组的所有元素都为真,才执行while与end之间的语句体. 本练习中,相应的MATLAB代码为： n=0; eps=1.0e-5; x=3; while abs(x-sqrt(x))eps x=sqrt(x); n=n+1; end x, n 结果为x =1.0000, n =16.这说明迭代到第16次后,数列的前后两项之间的误差小于,数列收敛到1. 一般说来,在事先不知道迭代是否收敛时,可用for语句.如果知道迭代是收敛的,为了控制迭代计算的误差,用while语句是比较合适的.迭代过程启发我们,设法将方程变形为不动点方程,就有可能利用迭代法求出方程的根. 练习２利用迭代法求解方程. 先请读者画出函数的图形,观测函数的图形可以看出,在区间方程有唯一正根. 迭代格式1 方程变形为,先用for语句,初值设为1.5,相应的MATLAB代码为： clear; x=1.5; for i=1:10 x=(x+1)^(1/3) end 可算得迭代数列的前10项: 1.3572, 1.3309, 1.3259, 1.3249, 1.3248, 1.3247, 1.3247, 1.3247, 1.3247, 1.3247 可见此迭代格式是收敛的,方程的根约为1.3247.进一步,如果要控制计算误差,比如说要使得计算误差小于,可用while语句, 相应的MATLAB代码为： n=0; eps=1.0e-5; x=1.5; while abs(x-(x+1)^(1/3))eps x=(x+1)^(1/3); n=n+1; end x, n 计算结果为 x =1.3247,n =6,说明只需进行6次迭代,就可达到所要求的精度. 迭代格式2 方程变形为,用for语句,初值设为1.5,相应的MATLAB代码为： clear; x=1.5; for i=1:10 x=(x+1)/x^2 end 可算得迭代数列的前10项: 1.1111, 1.7100, 0.9268, 2.2433, 0.6445, 3.9590, 0.3164, 13.1504, 0.08