218迭代与分叉溷沌.doc

PAGE  PAGE 11 实验十八　迭代与分叉、混沌 【实验目的】 了解逻辑斯谛迭代的基本概念。 了解逻辑斯谛迭代中的分叉和混沌现象。 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为变得复杂。例如在一个池塘中，环境可供2000条鱼生存。在鱼的数量远远低于此数时，鱼群的增长接近于指数增长。但是当鱼群数量接近于生存限2000时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群增长逐渐变慢，几乎停止增长。如果鱼群群数量超过了生存限，由于环境不堪重负，鱼群会出现负增长。试建立鱼群增长的数学模型。 【实验准备】 1．逻辑斯谛模型 方程 称为逻辑斯谛模型。 2．一些基本概念 设是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在，使得，则称为的不动点。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个不动点，则称该不动点为吸引点，或称为稳定点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离他而去，则称该不动点为排斥点，或称为不稳定点。如果 ， 且，则构成一个循环。称为周期点，称为一个周期轨道。 迭代的MATLAB命令 MATLAB中主要用for, while等控制流命令实现迭代. 【实验方法与步骤】 练习1 考察实验引例中的问题，记为第代鱼的数量，设鱼的增长量为原来数目的正比函数，而增长率为鱼数量的线性减函数，则可得如下的模型 上式称为逻辑斯谛方程，式中为环境所容许的最大容量，本例中，为自然增长率，本例中，不妨设，则可得如下的迭代格式 。 下面，选取不同的初值，观测鱼群数量的变化趋势。 初值，相应的MATLAB代码为： clear; x=0; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x); x1(i)=i; y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代恒等于0，0是迭代式的不动点。 图18.1 鱼群数量增长图（初值为0） （2）初值，例如，相应的MATLAB代码为： x=50; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x); x1(i)=i; y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于1500，1500是迭代式的不动点。 图18.2 鱼群数量增??图（初值为50） （3）初值，相应的MATLAB代码为： x=1500; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x); x1(i)=i; y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代恒等于1500，1500是迭代式的不动点。 图18.3 鱼群数量增长图（初值为1500） （4）初值，例如，相应的MATLAB代码为： x=1800; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x); x1(i)=i; y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代仍收敛于1500，1500是迭代式的不动点。 图18.4 鱼群数量增长图（初值为50） 练习２逻辑斯谛方程可写为标准形式 对于不同的，观测数列的收敛情况。 （1），相应的MATLAB代码为： clear; x=0.3; r=0.6; for i=1:30 x=r*x*(1-x); x1(i)=i; y(i)=x; end plot(x1,y,k-o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于0，0是迭代式的不动点。 图18.5 逻辑斯谛迭代（） 为了画出迭代的蛛网图，相应的MATLAB代码为： clear; x=0.3; r=0.6; for i=1:30 x=r*x*(1-x); y(i)=x; end x1(1)=0.3; y1(12)=0; for i=1:29 x1(2*i+1)=y(i); x1(2*i)=x1(2*i-1); y1(2*i)=y(i); y1(2*i+1)=y1(2*i); end; x2=0:0.01:1; y2=x2; y3=r.*x2.*(1-x2); plot(x1,y1,k-,x2,y2,k-,x2,y3,k-) 图18.6 逻辑斯谛迭代的蛛网图（） （2），相应的MATLAB代码为： clear; x=0.3; r=2.8; for i=1:30 x=r*x*(1-x); x1(i)=i; y(i)=x; end plot(x1,y,k-o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代数列上下振荡，收敛于不动点。 图18.7 逻辑斯谛迭代（） 为了画出迭代的蛛网图，只需在第一种情况相应的MATLAB代码r=0.6改为r=2.8即可。 图18.8 逻辑斯谛迭代的蛛网图（