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21数列的概念与简单表示法学案(人教A版必修5)
第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法
材拓展
1.从函数的观点看数列
一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.例如,类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法.即:数列{an}单调递增?an+1an对任意n (n∈N*)都成立;数列{an}单调递减?an+1an对任意n (n∈N*)都成立.
另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N*或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.
例如:已知an=eq \f(n-\r(98),n-\r(99)),则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A.a1,a30 B.a1,a9
C.a10,a9 D.a10,a30
解析 ∵an=eq \f(n-\r(99)+?\r(99)-\r(98)?,n-\r(99))
=eq \f(\r(99)-\r(98),n-\r(99))+1
∴点(n,an)在函数y=eq \f(\r(99)-\r(98),x-\r(99))+1的图象上.
在直角坐标系中作出函数y=eq \f(\r(99)-\r(98),x-\r(99))+1的图象.
由图象易知
当x∈(0,eq \r(99))时,函数单调递减.
∴a9a8a7…a11,
当x∈(eq \r(99),+∞)时,函数单调递减.
∴a10a11…a301.
所以,数列{an}的前30项中最大的项是a10,最小的项是a9.
答案 C
2.了解一点周期数列的知识
类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义:对于数列{an},若存在一个大于1的自然数T(T为常数),使an+T=an,对一切n∈N*恒成立,则称数列{an}为周期数列,T就是它的一个周期.易知,若T是{an}的一个周期,则kT (k∈N*)也是它的周期,周期最小的那个值叫最小正周期.
例如:已知数列{an}中,a1=a (a为正常数),an+1=eq \f(-1,an+1) (n=1,2,3,…),则下列能使an=a的n的数值是( )
A.15 B.16
C.17 D.18
解析 a1=a,a2=eq \f(-1,a+1),
a3=eq \f(-1,a2+1)=eq \f(-1,\f(-1,a+1)+1)=eq \f(-a-1,a),
a4=eq \f(-1,a3+1)=eq \f(-1,\f(-a-1,a)+1)=a,
a5=eq \f(-1,a4+1)=eq \f(-1,a+1),…….
∴a4=a1,a5=a2,…依次类推可得:an+3=an,
∴{an}为周期数列,周期为3.
∵a1=a,∴a3k+1=a1=a.
答案 B
3.数列的前n项和Sn与an的关系
对所有数列都有:Sn=a1+a2+…+an-1+an,Sn-1=a1+a2+…+an-1 (n≥2).因此,当n≥2时,有:an=Sn-Sn-1.当n=1时,有:a1=S1.所以an与Sn的关系为:an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1, n=1,Sn-Sn-1, n≥2)).注意这一关系适用于所有数列.
例如:已知数列{an}的前n项和Sn=(n-1)·2n+1,则an=________.
解析 当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=[(n-1)·2n+1]-[(n-2)·2n-1+1]
=(n-1)·2n-(n-2)·2n-1
=n·2n-1.
所以通项公式可以统一为an=n·2n-1.
答案 n·2n-1
4.由简单的递推公式求通项公式
(1)形如an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求和,采用累加法求an.
即:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
=a1+eq \o(∑,\s\up6(n-1),\s\do4(i=1))f(i)
(2)形如an+1=f(n)·an,且f(1)·f(2)…f(n)可化简,采用累乘法求an.
即an=a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an-1)=a1·f(1)·f(2)·…·f(n-1)=a1·eq \o(Π,\s\up6(n-1),\s\do4(i=1))f(i)
(注:∑为连加求和符号,Π为连乘求积符号)
(3)形如an+1=Aan+B (AB≠0且A≠1).
设an+1-x=A
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