222降次解一元二次方程教材详解及典例分析.doc

-  PAGE 8 - 22.2降次解一元二次方程 【重点难点点拨】 重点： （1）能够根据方程的特点及要求灵活运用开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程； （2）领会降次──转化的数学思想． （3）求根公式的推导和公式法的应用． 难点与关键： （1）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． （2）不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． （3）一元二次方程求根公式法的推导． （4）让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 【规律方法指津】 1、一元二次方程解法的选择顺序 先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种特殊方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较麻烦。 （1）对于形如的关于的方程，应选用直接开平方法； （2）对于右边是0，且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法； （3）用公式法解一元二次方程时，要先求出的值，当时，方程有实数根，可以继续把根求出；当时，方程没有实数根。 2、运用整体思想解方程 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。 例、用配方法解方程 分析：本题可以把方程先整理成一般形式，然后用配方法求解；但观察方程的特点，也可以把视为一个整体，直接用配方法求解。 解： ∴ 金钥匙：既表示一个字母，也表示代数式。象本例中把视为一个字母，运用整体思想，而不必把式子展开求解。 3、转化思想的应用 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。如本章学习的一元二次方程就是通过对方程变形，通过降次，把它转化为一元一次方程的。即： 【知识详细解读】 1：用直接开平方法解一元二次方程 对于形如的一元二次方程，当时，因为是的平方根，所以，即或。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 说明：直接开平方法的理论依据是平方根的定义。直接开平方法适用于解形如形式的方程，如果，就可以利用直接开平方法来解。 注意：用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 拓展：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想。 2、用配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； （3）移项：把常数项移到方程右边，使方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 （4）配方：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； （5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用因式分解法或直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。 注意：运用配方法关键是必须在把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的前提下，然后在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。 拓展：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，利用配方法可以解任何一个一元二次方程，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，后面我们学习的公式法也是由配方法推导出来的。学好配方法对于我们以后学习的二次函数中求顶点、对称轴等都很有帮助。 3、用公式法解一元二次方程 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式： x＝( b2－4 ac≥0) 我们可以利用一元二次方程的求根公式，由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 注意：（1）一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的． （2）求根公式是指在b2－4ac≥0时方程有解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解，渗透了一种分类的思想． 说明：由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使我们能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根