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2.2 一些数值方法的建模问题 2.2.1. 排水渠道的设计问题 1)??? 问题的提出 土木工程师和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的宽度、深度、内壁光滑度等参数及水流的速度、流量、水深等物理量之间的关系。现在要设计一条横断面为矩形的水渠，其宽度为20米,水流量为5立方米/秒，水渠的斜度系数为0.0002,Manning粗糙系数为0.03，试确定渠道中水的深度。 2）? 符号约定 H：渠道中水的深度，单位为米 B：渠道宽度为，单位为米，本题中B=20米 Q：水流量，单位为立方米/秒，本题中Q=5立方米/秒 S: 水渠的斜度系数,无量刚量, 本题中S=0.0002 N：Manning粗糙系数,是一个与水渠内壁材料的光滑度有关的无量刚量,本题中N =0.03 U：水的流速，单位为米/秒 3）? 问题分析与建立模型 查阅水工学应用的有关资料，获得一个有关流速的关系式： （1） 而质量守衡定律告诉我们 Q=UBH (2) 将式（1）代入式（2），同时将S,N,B,Q用给定的数值替代，有 （3） 令，于是问题归结为求方程的正根问题。 4）? 模型求解 由于方程没有求根公式，故采用数值方法求根，这里采用Newton迭代法来求根。为找到迭代初始值x0，先画出的图形观察： In[1]:= f[h_]=Sqrt[0.0002]/0.03*(20*h)^(5/3)*(20+2h)^(-2/3)-5; In[2]:= Plot[f[h],{h,0,5}] 输出图形为 Out[2]= -Graphics- 从图中可以看到函数在1附近有根，选取迭代初始值x0=1，根的精度为10-6做Newton迭代，对应的程序为 Clear[x,f,g]; f[x_]=Sqrt[0.0002]/0.03*(20*x)^(5/3)*(20+2x)^(-2/3)-5; g[x_]=D[f[x],x]; x0=1； eps1=0.000000000001; nmax=500; eps=0.000001; Do[u1=g[x0]; If[Abs[u1//N]eps1,Print[迭代法失效];Break[]]; x=N[x0-f[x0]/u1,10]; u1=Abs[x-x0]//N; Print[H=,x, n=,n, eps=,u1]; If[u1eps,Break[],x0=x], {n,1,nmax}]; If[u1eps,Print[迭代失败 ]] 执行程序后得输出结果为 H=0.7292262368 n=1 eps=0.270774 H=0.7025912396 n=2 eps=0.026635 H=0.702293294 n=3 eps=0.000297946 H=0.7022932563 n=4 eps=3.7772′10 -8 从输出结果说明所求的水渠深度约为0.7022932563，其误差为3.7772′10 -8． 2.2.2．男大学生的身高问题 1） 问题的提出 有关统计资料表明,我国大学生男性群体的平均身高约为170cm，且该群体中约有99.7﹪的人身高在150cm至190cm之间。如果将[150cm，190cm]等分成20个高度区间，试问该群体身高在每一高度区间的分布情况怎样？特别地，身高中等（165cm至175cm之间）的人占该群体的百分比会超过60﹪吗？ 解： 2）问题分析与建立模型 因为一个人的身高涉及很多因素，通常它是一个服从正态分布N(m,s)的随机变量。正态分布的概率密度函数j(x)为： 于是密度函数j(x)在区间[a,b]上的定积分 的值正好代表大学生身高在区间[acm,bcm]的分布。 在密度函数j(x)中的两个参数m、s分别为正态分布的均值与标准差。根据题目中我国大学生男性群体的平均身高约为170cm，可选取正态分布的均值m=170cm，而由“该群体中约有99.7﹪的人身高在150cm至190cm之间”和正态分布N(m,s)的“3s规则”，有 m-3s=150cm m+3s=190cm 于是可以得到s=,故其密度函数j(x)为 将[150cm，190cm]等分成20个高度区间后，得到高度区间为 [150，152]，[152，154]，…，[188，190] 对应的分布为 （1） 身高在165cm至175cm之间的人占该群体的百分比为 （2） 如上式（1）和（2）的定积分是不能用定积分基本公式方法求出的，但用计算方法中的数值积分可以算出。 3）? 模型求解 选用数值积分中的复化梯形公式求积方法编程可以计算出求误差小