231抛物线及其标准方程学案(人教A版选修11).doc

2.3 抛物线 2．3.1　抛物线及其标准方程 课标解读1.掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点) 2．了解抛物线的实际应用．(难点) 3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点) 抛物线的定义【问题导思】　 　我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？ 【提示】　抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离． 　平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【问题导思】　 　抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？ 【提示】　不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线. 抛物线的标准方程【问题导思】　 1．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？ 【提示】　根据抛物线的几何特征，可以取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，以F到l的垂线段的中垂线为y轴建系． 2．抛物线的标准方程只有一种形式吗？ 【提示】　有四种形式． 　四种不同标准形式的抛物线方程 图形标准 方程y2＝2px (p＞0)y2＝－2px (p＞0)x2＝2py (p＞0)x2＝－2py (p＞0)焦点 坐标(eq \f(p,2)，0)(－eq \f(p,2)，0)(0，eq \f(p,2))(0，－eq \f(p,2))准线 方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2) 抛物线概念的理解与应用　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是(　　) A．4　　　　B．8　　　　C．13　　　　D．16 (2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝－16x　　　　　B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x＜0) 【思路探究】　(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离与什么相等？(2)点P到F的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，??么点P到F的距离与它到哪条直线的距离相等？ 【自主解答】　(1)由题意6＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝8. (2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x. 【答案】　(1)B　(2)C 1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷． 2．抛物线标准方程中的p的几何意义是：焦点到准线的距离． 3．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题． 　(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为(　　) A．2　　　　　　　　B．3 C．4 D．5 (2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 【解析】　(1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离等于它到准线的距离，而A到准线的距离为4＋eq \f(p,2)＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x. 【答案】　(1)D　(2)A 求抛物线的标准方程　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6,6)． (2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上． 【思路探究】　(1)过点M(－6,6)的抛物线的开口方向有几种情况？(2)直线l：3x－2y－6＝0上有无数个点，哪些点是抛物线的焦点？ 【自主解答】　(1)由于点M(－6,6)在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)， ∴p＝3. ∴抛物线的方程为y2＝－6x； 若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x