232_等比数列的前n项和王后雄学案.doc

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 PAGE41 / NUMPAGES41 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 2.3.2 等比数列的前n项和 教材知识检索 考点知识清单 1．等比数列的前n项和为当公比时， = 当q=l时， 2．若数列的前n项和且则数列是 3．在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为与分别为偶数项与奇数项的和，则 5．数列为等比数列，为其前n项和，则仍构成 要点核心解读 1．等比数列前n项和公式 (1)前n项和公式的导出， 解法一：设等比数列它的前n项和是 由等比数列的通项公式可将写成 ①式两边同乘以q，得 ② ①一②，得 由此得时， 所以上式可化为 当q=l时， 解法二：由等比数列的定义知 ??时， 即 故当时， 当q=l时， 解法三： 当时， 当q=l时， (2)注意问题， ①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会， ②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论． ③当已知时，用公式当已知时，用公式 ④在解决等比数列问题时，如已知中的任意三个量，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个量． (3)等比数列前n项和的一般形式 一般地，如果是确定的，那么设则上式可写为 2．等比数列前n项和的性质 (1)数列为等比数列，为其前n项和，则仍构成等比数列，且有 (2)若某数列前n项和公式为则为等比数列． (3)在等比数列中，若项数为分别为偶数项与奇数项的和，则 (4)若是公比为q的等比数列，则由此性质，在解决有些问题时，能起到简化解题过程的作用． 如：设是由正数组成的等比数列，它的前n项和为试比较与 的大小． 解：设的公比为q，由已知 而且函数在上单调递增， 典例分类剖析 考点1 前n项和公式的应用 命题规律 (1)等比数列前n项和公式在具体题目中的应用． (2)含有参数的等比数列中，如何运用等比数列的求和公式． [例1]在等比数列中，求 [答案] 方法一：由已知 则又 即 ②÷①得所以 可求出，因此 方法二：已知等比数列中，求g，还可利用性质转化为 求得， 即 再代入求得 [误区诊断] 解答此类题目容易漏掉对q=l这一步的讨论． [方法技巧] 使用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1情况的区别，而在解方程组的过程中，一般采用两式相除的方法． [例2] 已知数列是等差数列，且 (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和公式． [答案] (1)设数列的公差为d，则 又得所以 (2)由得 ①一②得 所以 [方法技巧] 本题第(1)问主要是将问题转化为利用基本量口，和d联立方程组求解，从而确定出通项公式；第(2)问结合{bn}的特点采用错位相减法求和，变形时式子较复杂，要注意运算准确． 母题迁移 1．若数列成等比数列，且前n项和为80，其中最大项为54，前2n项之和为6560，求 2．求和 考点2 等比数列前n项和性质的应用 命题规律 （1)利用等比数列前n项和的性质简化运算，优化解题过程． (2)等比数列前n项和的性质在解题中的灵活运用． [例3] 已知数列是等比数列， (1)若求 (2)若 [答案] (1)由性质可得 解得 构成等比数列，设为公比为g， [启示] 等比数列前凡项和具有的一些性质： (1)连续m项的和（如仍组成等比数列（注意：这连续m项和必须非零才能成立）． 为等比数列 （q为公比）． 利用性质(1)可以快速地求某些和．如等比数列中，求 为等比数列， 也成等比数列，且首项为20，公比为 但在运用此性质时，要注意的是成等比数列，而不是 成等比数列． 母题迁移3．(1)已知：数列是等比数列，若 (2)在与11之间插入10个正数，使这12个数成等比数列，则所插入的这10个正数之积为 (3)一个等比数列中，则 (4)等比数列中，则q= 考点3 等比数列前n项和的应用问题 命题规律 (1)从实际问题中抽象出等比数列前n项和的数学模型． (2)利用等比数列前n项和公式解决一些简单的应用问题． [例4]某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%． (1)分别求2005年底和2006年底的住房面积； (2)求20