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23平面向量的基本定理及坐标表示(教学设计)
SCH高中数学(南极数学)同步教学设计(人教A版必修4第二章《平面向量》)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(1)(教学设计)
2.3.1平面向量基本定理;2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
[教学目标]
一、知识与能力:
1. 了解平面向量基本定理。
2.掌握平面向量基本定理,理解平面向量的正交分解及坐标表示;
3.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
二、过程与方法:
体会数形结合的数学思想方法;培养学生转化问题的能力.
三、情感、态度与价值观:
培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题.
教学重点:平面向量基本定理,向量的坐标表示;平面向量坐标运算
教学难点:平面向量基本定理.
一、复习回顾:
1.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ|=|λ|||;(2)λ0时λ与方向相同;λ0时λ与方向相反;λ=0时λ=
2.运算定律
结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ.
二、师生互动,新课讲解:
思考:给定平面内任意两个向量e1,e2,请作出向量3e1+2e2、e1-2e2,平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1+?2e2的向量表示呢?.
在平面内任取一点O,作e1,e2,a,过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知,存在实数?1、?2,使得?1e1,?2e2. 由于,所以a=?1e1+?2e2,也就是说任一向量a都可以表示成?1e1+?2e2的形式.
1. 平面向量基本定理
(1)定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数?1、?2,使得
a=?1e1+?2e2.
把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则?AOB=?(0????180?)叫做向量a与b的夹角,
当?=0?时,a与b同向;当?=180?时,a与b反向.
如果a与b的夹角是90?,则称a与b垂直,记作a?b.
例1 (课本P94例1)已知向量e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2。
解:
变式训练1: 如图在基底e1、e2下分解下列向量:
解:,
,
,
2. 平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)向量的坐标表示
思考:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对平面直角坐标系内的每一个向量,如何表示呢?
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y使得
a=xi+yj,
把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作
a=(x,y),
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,
显然,
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
(3)向量与坐标的关系
思考:与a相等的向量坐标是什么?
向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应?(多对一的对应,因为相等向量对应的坐标相同)
当向量起点被限制在原点时,作=a,这时向量的坐标就是点A的坐标,点A的坐标也就是向量的坐标,二者之间建立的一一对应关系.
例2(课本P96例2) 如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.
解:a=2i+3j=(2,3),
b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3).
变式训练2: 在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度如图所示,分别求他们的坐标.
解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则
a1=|a|cos45?=,a2=|a|sin45?=;
b1=|b|cos120?=,b2=|b|sin120?;
c1=|c|cos(-30?)=,c2=|c|sin(-30?)=,
因此.
例3:已知是坐标原点,点在第一象限,,,求向量的坐标.
解:设点,则
即,所以.
变式训练3:如图,e1、e2为正交基底,分别写出图中向量a、b、c、d的分解式,并分别求出它们的直角坐标.
解:a=2e1+3e2=(2,3),b=-2e1+3e2=(-2,3),
c=-2e1-3e2=(-2,-3),d=2e1-3e2=(2,-3).
三、课堂小结,巩固反思:
1. 平面向量基本定理;
2. 平面向量的正交分解;
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