23等差数列的前n项和(二)学案(人教A版必修5).doc

2.3　等差数列的前n项和(二) 自主学习 知识梳理 1．前n项和Sn与an之间的关系 对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　　　　　　　　?n＝1?，,　　　　　　 ?n≥2?.)) 2．等差数列前n项和公式Sn＝____________＝____________. 3．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中 当a10，d0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定； 当a10，d0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定． (2)因为Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有____________值；当d0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． 4．一个有用的结论： 若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然． 自主探究 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最值． 对点讲练 知识点一　已知前n项和Sn，求an 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an. 总结　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示． 变式训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求an. 知识点二　等差数列前n项和最值问题 例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值． 总结　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解． 变式训练2　等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？ 知识点三　已知{an}为等差数列，求{|an|}的前n项和 例3　已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 总结　等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和． 变式训练3　数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn. 1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n项和的最值 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． (2)通项法：当a10，d0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a10，d0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值． 3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点. 课时作业 一、选择题 1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A．S9S10 B．S9＝S10 C．S11S10 D．S11＝S10 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S6,S12)等于(　　) A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,9) 4．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是(　　) A．Snna1nan B．Snnanna1 C．na1Snnan