241平面向量数量积的物理背景及其含义(教案).doc

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 三维目标： 1、知识与技能： （1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义； （2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系； （4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法 （1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法； （2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。 （3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。 3、情态与价值观 （1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。 （2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神； 教学重点： 平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点： 平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。 教学过程： 一、情景导入、引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么 ？ 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 二、合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念 S F α 1、给出有关材料并提出问题3： （1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos （2）定义说明： ①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。 （3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 （4）学生讨论，并完成下表： 的范围0°≤90°=90°0°≤180°·的符号（5）探究题组一 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·. 解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18； 若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当⊥时，它们的夹角θ＝90°， ∴·＝０； ③当与的夹角是60°时，有 ·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9 评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能. 探究二：研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念： 如图，我们把││cos（││cos） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 记做：OB1=︱││︱cos 注：投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|. 2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影 ︱︱cos 的乘积。 探究三：探究数量积的运算性质 1、数量积的性质 性质：若ａ和ｂ均为非零向量 （1）ａ⊥ｂａ·ｂ＝0 （垂直） （2）