241函数的零点教案.doc

PAGE2 / NUMPAGES2 §2.4　函数与方程 2.4.1　函数的零点 【学习要求】 1.了解函数零点的概念，会求函数的零点； 2.会判定二次函数零点的个数； 3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系． 【学法指导】 通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值 等于零 ，即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点 的横坐标叫做这个函数的零点．函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有 交点 ?方程f(x)＝0有 实数根 ． 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 当Δ＝b2－4ac0时，二次函数有_2_个零点； Δ＝b2－4ac＝0时，二次函数有_1_个零点； Δ＝b2－4ac0时，二次函数有_0_个零点． 3.如果函数y＝f(x)在实数集R上有零点a，b (ab)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(－∞，a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]　下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？ 探究点一　函数零点的定义 导引　考察下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1； (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 问题1　你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？ 答　：略 问题2　“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？ 答：　方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 问题3　在“导引”中，当x的值为－1,3时，函数y＝x2－2x－3的值为0，我们把－1,3叫做函数y＝x2－2x－3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？ 答：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于??，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点的是(α，0)点. 问题4　函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？ 答：函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根． 问题5　函数的零点与函数图象上的点有什么区别？ 答：函数的零点不是点，是函数值为0时对应的自变量的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示． 例1　已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac0，则函数f(x)的零点个数有 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．1 C．2 D．不确定 解析：　因为ac0，所以Δ＝b2－4ac0， 所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点， 即函数f(x)的零点个数为2. 小结：　求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论． 跟踪训练1　函数y＝x2－2x－8的零点是 (　　) A．(－2,0)，(4,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．－2和4 解析：　函数y＝x2－2x－8对应的方程为x2－2x－8＝0， 而方程x2－2x－8＝0有两个实数根，x1＝－2，x2＝4， 由于函数零点就是对应方程的根，所以D选项正确． 探究点二　函数零点的性质 问题1　二次函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？ 答： 由x2－2x－3＝0，解得x1＝－1， x2＝3，即函数的零点为－1,3.画出函数f(x)的图象如右图，发现函数 零点把x轴分成(－∞，－1)，(－1,3)，(3，＋∞)． 当x∈(－1,3)时，y0；当x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y0. 问题2　观察f(x)＝x2－2x－3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？ 答:　当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号． 问题3　二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间(－2,1)上有零点x＝－1，而f(－2)0，f(1)0，即f(－2)·f(1)0，在