265特征值与特征向量矩阵的简单应用.doc

七彩教育网 七彩教育网 全国必威体育精装版初中、高中试卷、课件、教案免费下载 本资料来源于《七彩教育网》 26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用 【知识网络】 1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2、会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）； 3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵的应用。 【典型例题】 例1：（1）、已知，且 ，则n的值是 （ ） A．3 B．－3 C．±3 D．不存在 答案：C。解析：，解得n=±3。 （2）= ( ) A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：。 （3）设某校午餐有A、B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，隔天再订A便当的机率是；订B便当的人，隔天再订B便当的机率为，已知星期一有40%的同学订了A便当，60%的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的比率为 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：D。解析：设M=，则M3。 （4）矩阵的特征值是 。 答案：-4或2。解析：矩阵M的特征值满足方程 =(-1) (+3)-(-)(-2)= 2+2-8=0 解得，矩阵M的两个特征值1=-4，2=2。 （5）一实验室培养两种菌，令和分别代表两种培养菌在时间点n的数量，彼此有如下的关系，若二阶矩阵A=满足A，（其中n=0,1,2…），则 ， ， ， 。 答案：8，24，0，8。解析：， 故得。 例2：根据下列条件试判断M 是否与 共线 ⑴M= ， 非零向量 = ⑵ M= ， = 答案：⑴ M= ==3 所以M与共线。 ⑵ M= = 而与不共线。 即此时M与不共线。 例3：求矩阵M= 的特征值和特征向量 答案：矩阵M的特征值满足方程 =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8=0 解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2 ⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程： (1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取为属于特征值1=4的一个特征向量 ⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程： (2+1)x+(-2)y=0 即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量 综上所述：M= 有两个特征值1=4???2=-2， 属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。 例4：已知：矩阵M= ，向量 = 求M3 答案：由上题可知1 = ， 2 =是矩阵M分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1 与2 不共线。又 ==3+=31+2 ∴M3= M3（31+2）=3 M31+ M32 =3131+232=3×43+（-2）3× = 192×-8×==。 【课内练习】 1．＝(3，－1)， ＝(－1，2)，则－3－2的坐标是 ( ) A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－1) 答案：B。 2．矩阵的特征值是 （ ） A、0和5 B、0和—5 C、1和4 D、—1和—4 答案：A。解析：由已知，解得。 3．下图为一个网络，则一级路矩阵为 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：A。 4．矩阵A=的特征多次式为 。 答案：。解析：。 5．设A是一个二阶矩阵，满足A，且A，则A= 。 答案：。解析：设A=， 则。 6．矩阵M=的所有特征向量为 。 答案：k和k。解析：已知 ∴，对应的特征向量为和，故所有的特征向量为：k和k。 7．已知点列满足，且，则P4坐标为 。 答案：（—2，—6）。 解析： 即，故，又， ∴，即P4（—2，—6）。 8．求矩阵A=的特征值与特征向量。 答案：矩阵A的特征多项式或—1，其相应的特征向量分别为和。 9．已知⊿ABC的坐标分别为A（1，1）、B（3，2