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2.6 应用MATLAB进行模型处理 线性系统理论中常用的数学模型有微分方程模型、传递函数模型等，而这些模型之间又有某些内在的等效关系。在MATLAB中，与传递函数的具体形式相对应，又有tf对象和zpk对象之分，我们分别称为有理分式模型和零极点模型。在本节，就线性定常时不变系统（LTI）数学模型分析中用到的MATLAB方法作一简要介绍，主要有拉氏变换、传递函数的转换、控制系统的特征根及零极点图、方框图模型的传递函数、符号模型的运算等。 2.6.1 拉氏变换与反变换 在MATLAB中，可以采用符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)进行拉氏变换和反变换，通过函数“Laplace”和“iLaplace”来实现。 1．拉氏变换 “Laplace”的调用格式如下： L=Laplace(F)：是缺省独立变量t的关于符号向量F的拉氏变换，缺省返回关于s的函数。 L=Laplace(F,t)：是一个关于t代替缺省s项的拉氏变换。 L=Laplace(F,w,z)：是一个关于z代替缺省s项的拉氏变换。 例2-15 求时域函数f(t)=6cos(3t)+e-3tcos(2t)-5sin(2t)的拉氏变换。 解 程序如下: MATLAB Program 2-1%--------------- Laplace transforms ----------------- syms t y; y=laplace(6*cos(3*t)+exp(-3*t)*cos(2*t)-5*sin(2*t))运行结果： y = 6*s/(s^2+9)+1/4*(s+3)/(1/4*(s+3)^2+1)-10/(s^2+4) 即 2．拉氏反变换 “iLaplace”的调用格式如下： F=iLaplace(L)：是缺省独立变量s的关于符号向量L的拉氏反变换，缺省返回关于t的函数。 F=iLaplace(L,y)：是一个关于y代替缺省t项的拉氏变换。 F=iLaplace(L,y,x)：是一个关于x代替缺省t项的拉氏变换。 例2-17 求函数的拉氏反变换。 解 程序如下: MATLAB Program 2-2%---------------in-Laplace transforms ----------------- syms s F F=ilaplace(16/(s^2+4)+(s+5)/((s+4)^2+16)) 运行结果： F = 8*sin(2*t)+exp(-4*t)*cos(4*t)+1/4*exp(-4*t)*sin(4*t) 例2-17 求函数的拉氏反变换。 解 程序如下: MATLAB Program 2-3%--------------- Inverse Laplace transforms ----------------- syms s a b c F F=ilaplace((s+a)/((s+b)^2*(s+c)))运行结果： F = ((-(b-c)*(-b+a)*t-a+c)*exp(-b*t)+(a-c)*exp(-c*t))/(b-c)^2 2.6.2 传递函数 1．有理分式模型 传递函数的分子和分母均为多项式的形式称为有理分式模型，如下式所示。 在MATLAB中，传递函数分子和分母多项式系数用行向量表示。例如多项式P(s)=s3+2s+4，其输入为 P=[1 0 2 4] 传递函数分子或分母为因式时，调用conv()函数来求多项式向量。例如P(s)=5(s+2) (s+3)(10s2+20s+3)，其输入为 P=5*conv([1 2],conv([1 3],[10 20 3])) 调用函数“tf”可建立传递函数的有理分式模型，其调用格式如下： G=tf(num,den) 例2-19 已知某一系统的微分方程如下，试求其传递函数。 解 程序如下: MATLAB Program 2-4%--------------- Transfer function ----------------- num=[1 7 12 20]; den=[1 6 12 20 36 25]; G=tf(num,den)运行结果： Transfer function: s^3 + 7 s^2 + 12 s + 20 ----------------------------------------- s^5 + 6 s^4 + 12 s^3 + 20 s^2 + 36 s + 25 例2-20 将传递函数转换为有理分式模型。 解 程序如下: MATLAB Program 2-5%--------------- Tran