29第二章平面向量小结与复习.doc

第二章 平面向量章末复习（第2课时） 教学目标 重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用． 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系． 能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运算能力和解决实际问题的能力． 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构． 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻． 易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错； (2)对两向量夹角的定义理解不清致错； (3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错； (4)混淆点的坐标与向量的坐标致错． 学法与教具 1．学法：讲授法、讨论法． 2．教具：投影仪． 一、【知识结构】 平面向量 平面向量的数量积 数量积的性质 数量积的定义 数量积的运算律 数量积的几何意义 几何中的应用 平面向量应用举例 物理中的应用 二、【知识梳理】 1．平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(inner product)（或内积），记作，即，其中是与的夹角． (2)数量积的几何意义 数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的投影的乘积． (3)数量积的性质  = 1 \* GB3 ①．  = 2 \* GB3 ②当与同向时，；当与反向时，；特别地，，所以．通常记作．  = 3 \* GB3 ③ (4)数量积的运算律 已知向量、、和实数，则：  = 1 \* GB3 ①；  = 2 \* GB3 ②；  = 3 \* GB3 ③． (5)数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，则． 由此可得：  = 1 \* GB3 ①或；  = 2 \* GB3 ②；  = 3 \* GB3 ③设为、的夹角，则． 2．平面几何中的向量方法 用向量法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系． 3．向量法在物理中的应用 向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型． 三、【范例导航】 例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 ，.若，则 . 【分析】由题意可知，根据，解方程可以求得的值. 【解答】如图，设 ，，则，，， 又，， 由得， ， 即所以. 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题. 变式训练1(2011·江苏卷10)已知是夹角为的两个单位向量， 若，则的值为 ． 答案： 解析：， 解得. 例2(2012·江苏9)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ． 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果. 【解答】因为， ， 所以，. 所以. 【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式. 变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= ． 答案：18 解析：设，则， 所以， 例3.证明：对于任意的、、、，恒有不等式． 【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量 【解答】设，, 则，， 因为， 所以 所以. 【点评】此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会 变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点，，试用、两点的坐标表示的余弦值. 答案： 解析：因为,, 所以， 那么，. 四、【解法小结】 1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设， (1)