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PAGE  PAGE 8 论文题目：线性微分方程的稳定性及其应用 院 系： 数学科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 刘英波 学 号： 指导教师： 云文在 完成时间： 2006 年6月3日 线性微分方程的稳定性及其应用 刘英波 包头师范学院数学系 摘要：Lyapunov意义下的几种稳定性定义；线性系统的所有解具有相同的稳性；线性系统的稳定性与吸引性等价；线性微分方程的稳定性定理；Lyapunov稳定性定理及其在线性系统稳定性分析中的应用。 关键词：线性微分方程 稳定性 引言 稳定性的概念，最早来源于力学。李雅谱诺夫（Lyapunov）是第一位给出运动稳定性数学定义的人，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。 线性系统有着广泛的实际背景，各种实例，俯拾即得；同时，又是非线性系统化的重要源泉。由于线性系统成立迭加原理，从而使解集构成线性空间，并 且通解可以通过Cauchy矩阵来表达，使稳定性理论有许多深刻的结果和特殊的方法。 稳定性、吸引性的定义 考虑线性微分方程组 ⑴ 记,,为含原点的空间的n维开子集。在中连续，简记为, 分别为的定义域和值域。设方程⑴ 的Cauchy问题的解唯一，记,。 设是⑴的未受扰动的解，是⑴的任意一个被扰动的解，作变换，则⑴式化为 ⑵ 故⑴式的解对应着⑵式的平凡解。因此只研究⑵式的平凡解的稳定性就够了。 设保证⑴式的解的整体存在的唯一性，对任意的t,当且仅当,时，是⑵式的平凡解。以表示⑵式满足初始值的解，设在上有定义。 定义：若，当时，对一切，有，称方程⑴的解是稳定的；反之，称方程⑵的解是不稳定的，即。 定义：若，当，对一切，有，称方程⑵的解是一致稳定的。 定义：若，当，时，有，即，称方程⑵ 的解是吸引的；若上述的T仅依赖于，不依赖于，即，称方程⑵的解是等度吸引的；若它是等度吸引的，且等度吸引中的不依赖于，不依赖于，即： 。 定义：称方程⑵??解分别是渐近稳定，等度渐近稳定，拟一致渐近稳定的，若： 1）它是稳定的； 2）它分别为吸引、等度吸引、一致吸引的。 定义：称方程⑵的解是一致渐近稳定的，若它是一致稳定的和一致吸引的，且⑵式的所有解是一致有界的（即,当对一切成立）。 例1 试判断线性方程组的稳定性 解 通解为，或，(与无关),当时，就有，故平凡解一致稳定。但 故平凡解不是吸引的，从而不是渐近稳定的。 非齐次与齐次方程组稳定性的关系 考虑n维变系数非齐次线性方程组 ⑶及对应的齐次方程组 ⑷其中, 。若x,y是⑷式的解，则也是⑷式的解；若x,y分别是⑶式的解，则x-y也是⑷式的解。⑷式的n个线性无关的解就构成⑷式的解空间的基。设是⑷式的基解矩阵，则为⑷式的标准基解矩阵，又称为 Cauchy矩阵。 定义：若方程组⑶的所有解具有某种稳定性，则称方程组⑶具有这种稳定性。 定理:，方程组⑶具有某种稳定性,当且仅当⑷式的解具有相同的稳定性。 推论:方程组⑶具有某种稳定性，当且仅当⑶的某一个解具有同一种稳定性。 推论:具有某种稳定性，当且仅当方程组⑶具有同一种稳定性，当且仅当方程组⑷的零解具有同一种稳定性。 例2 线性控制系统的一般形式为 其中为n维向量，为向量输入函数,为输出函数，均为相应维数的连续函数矩阵。我们只研究对应的齐次系统的零解的稳定性。 齐次方程组稳定性的几个等价定理 定理:方程组⑷的平凡解稳定(一致稳定)的充要条件是它的Cauchy矩阵(有界(一致有界)。 定理：方程组⑷的平凡解渐近稳定的充要条件是它的平凡解是吸引的。 证 充分性 若⑷式的平凡解吸引，则，使当使时，，取，便得到Cauchy矩阵的第k列，故有界，从而有界。由定理知⑷式的平凡解稳定，故充分性结论成立。 必要性显然成立。 推论:方程组⑷的平凡解一致渐近稳定等价于平凡解一致吸引，且一致有界。 定理:方程组⑷的平凡解渐近稳定(一致渐近稳定)的充要条件是⑷的Cauchy矩阵。,且一致有界。 证 充分性 因为且一致有界),故存在正常数，使得。 由定理知⑷式的平凡解稳定(一致稳定）,又由知⑷式的平凡解吸引(一致吸引)。 必要性 仿上面定理的证明蕴涵，，且一致有