30数论第五讲位值进制与完全平方数.doc

PAGE - 2 - 2010年·短期班 小学奥数·五年级·数论·第5讲 教师版 page  PAGE 11 of  NUMPAGES 11 第五讲 位值、进制与完全平方数 知识点拨  一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式：以六位数为例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。 n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 进制间的转换：如下图所示。 三、完全平方数 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。 2.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 例题精讲 板块一 位值原理 如果，那么等于几？ 例题1 1 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。 例题2 2 【巩固】把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。 例题3 3 【巩固】如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。 从1～9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数，如果六个三位数的和是3330，那么这六个数中最大的是多少？ 例题4 4 【巩固】a，b，c分别是0～9中的不同的数码，用a，b，c共可以组成六个三位数，如果其中的五个数之和是2234，那么另一个数是几？ 有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？ 例题5 5 【巩固】一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数是多少？ 聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号2008，聪聪让明明用这个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到，聪聪又让明明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说出来，明明圈掉了8，告诉聪聪剩下的三个数是1，9，9。聪聪一下就猜出圈掉的是8，明明感到莫名其妙，于是又做了一遍