311_数系的扩充和复数的概念.doc

3.1.1　数系的扩充和复数的概念 教材分析　　　　　 复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解. 教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导． 教学目标　　　　　 1．知识与技能目标 了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)． 2过程与方法目标 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．情感、态度与价值观 在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 重点难点　　　　　 重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． 难点：虚数单位i的引进及复数的概念． eq \o(\s\up7(),\s\do5(教学过程)) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(引入新课)) 1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？ （1）自然数：计数的需要. （2）负数：表示相反意义的量、计数需要. （3）分数：整数集中不能整除. （4）无理数：开方开不尽. 2.数系的扩充过程： 用图形表示包含关系： 自然数集，，整数集，有理数集，实数集. 3. 为什么要进行数系的扩充？ ①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾. ②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾. ③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾. ④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？ 例如，在实数范围内，方程无解，那么在什么范围内才有解？ 提出问题：从自然数集N扩充到实数集R每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要． 扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(探究新知)) 提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？ 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． 提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？． 活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i. 实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}． 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？ 活动设计：学生讨论探究a＋bi＝c＋di时，实部和虚部应满足的条件，教师补充． 活动结果：若a＋bi＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则a＝b且c＝d，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a＋bi＝0a＝0且b＝0. eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(理解新知)) 提出问题：对于复数z＝a＋bi，当